1. 模型
神经网络的模型可以就看作为一个函数，模型学习（训练）的过程，就可以看成是给函数寻找合适的参数的过程。比如，下面就是一个简单的模型，它所表示的函数就是 y = w 1 x 1 + w 2 x 2 y = w1x1+w2x2y=w1x1+w2x2
这个函数在两个侧面的投影，就是 y = w 1 x 1 y=w1x1y=w1x1 和 y = w 2 x 2 y=w2x2y=w2x2。学习一个多元函数，可以看成是分别学习多个一元的函数。
2. 损失
损失，也就是模型和数据的不贴合程度。
衡量损失常用的一个函数是均方损失函数：l o s s = ∑ i = 1 n ( y i ^ − y i ) 2 loss=\displaystyle\sum_{i=1}^n(\hat{y_{i}}-y_{i})^2loss=
i=1
∑
n
(
y
i
^
−y
i
)
2
，其中 n 为数据点数量。
函数也可以写成 l o s s = ∑ i = 1 n ( W X i − y i ) 2 loss=\displaystyle\sum_{i=1}^n(WX_{i}-y_{i})^2loss=
i=1
∑
n
(WX
i
−y
i
)
2
，其中 W 为模型的所有权值，X i X_{i}X
i
为第 i 个数据点的所有自变量。
既然衡量损失有了一个确定的函数，那训练模型的过程就可以变成一个最小化损失的过程，方法就是不断地改变权值W，使函数关于所有这些数据点的损失（或者说平均损失）不断变小。
3. 损失loss关于权值W的梯度
通常来说，应该函数的权值 W 是固定的，而数据的特征 X 作为自变量。但我们是要通过一个固有的数据集，来优化权值W，所以在优化过程中，我们要把损失函数l o s s lossloss中的W看作自变量。
然后我们求 l o s s lossloss 关于 W WW 的梯度，遵循着梯度的指引来改变 W WW。
如果某个权值的梯度是正的，说明随着权值w ww的增大，损失l o s s lossloss也会增大。那我们为了让损失变小，就要减小w ww的值。
同样，如果梯度是负的，我们就要增大对应的权值。
W WW 中的每个 w ww 的移动，可以看成是相对独立、互不干扰的。更新一个有很多权值的复杂模型，就成了很多重复的这样更新单个权值的操作。
4. 求梯度——数值梯度
在具体求梯度的过程中，计算机本身是不会公式演算的。但我们并不需要对损失函数求出梯度的表达式，而只需求函数在每个 权值w ww处的梯度值。
数值梯度的方法，就人为地设置了一个确定的微小值 h hh，比如 1 0 − 5 10^{-5}10
−5
（具体根据实际需要）。
l o s s g = l o s s ( w + h ) − l o s s ( w − h ) 2 h loss_ g = {loss(w+h)-loss(w-h) \over 2h}
loss
g
=
2h
loss(w+h)−loss(w−h)
因此，我们更新 w ww 的方式，就像是先试探着往一个方向走一小步，如果发现合适，就再往那个方向走一大步；否则，就往反方向走。
5. 梯度下降中的小批量
小批量随机梯度下降法是机器学习中一种常用的方法，为什么要用到小批量？
前面每次计算损失，都是计算模型函数关于整个样本数据集的损失。那么在样本数据很大时，比如十万、百万的数据量时，这样计算资源的消耗就太大了，而且是不必要的。
使用小批量，就是起到部分代表整体的作用。我们假装一个小批量，就体现着整个数据集的特征。然而这难免有些片面性，通过小批量所指引的 w ww 前进的方向，有可能从整个的数据集中来看并不是恰当的方向。因此，我们把一个数据集划分成许多个小批量后，每个小批量都会使用，且会进行多轮（多个周期）的训练，以将整个数据集的特征都充分展现出来。
