文章目录
一、 并集
二、 并集示例
三、 交集
四、 交集示例
五、 不相交
六、 相对补集
七、 对称差
八、 绝对补集
九、 广义并集
十、 广义交集
十一、 集合运算优先级
一、 并集
并集 : A , B A, BA,B 是两个集合 , 由 A AA 和 B BB 所有的元素组成的集合 , 称为 A AA 与 B BB 的并集 ;
记做 : A ∪ B A \cup BA∪B , ∪ \cup∪ 称为 并运算符 ;
符号化表示 : A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B } A \cup B = \{ x | x \in A \lor x \in B \}A∪B={x∣x∈A∨x∈B}
初级并 : 两个集合的并运算 , 可以推广到 有限个 / 可数个 集合的并运算 , 称为 初级并 ;
A 1 , A 2 , ⋯ , A n A_1 , A_2 , \cdots , A_nA
1
,A
2
,⋯,A
n
是 n nn 个集合 , 则 A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n = { x ∣ ∃ i ( 1 ≤ i ≤ n ∨ x ∈ A i ) } A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = \{ x | \exist i ( 1 \leq i \leq n \ \lor \ x \in A_i ) \}A
1
∪A
2
∪⋯∪A
n
={x∣∃i(1≤i≤n ∨ x∈A
i
)} , 记作
⋃ i = 1 n A i = A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n \bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n
i=1
⋃
n
A
i
=A
1
∪A
2
∪⋯∪A
n
A 1 , A 2 , ⋯ , A n , ⋯ A_1 , A_2 , \cdots , A_n , \cdotsA
1
,A
2
,⋯,A
n
,⋯ 是 可数个 个集合 , 则 初级并形式记作 :
⋃ i = 1 ∞ A i = A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \cup A_2 \cup \cdots
i=1
⋃
∞
A
i
=A
1
∪A
2
∪⋯
二、 并集示例
集合 A = { x ∈ N ∣ 5 ≤ x ≤ 10 } A = \{ x \in N | 5 \leq x \leq 10 \}A={x∈N∣5≤x≤10} , 集合 B = { x ∈ N ∣ x ≤ 10 ∨ x 是 素 数 } B = \{ x \in N | x \leq 10 \lor x 是素数 \}B={x∈N∣x≤10∨x是素数}
A ∪ B = { 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } A \cup B = \{ 2, 3, 5 ,6,7,8,9,10 \}A∪B={2,3,5,6,7,8,9,10}
三、 交集
交集 : A , B A, BA,B 是两个集合 , A AA 和 B BB 公共元素组成的集合 , 称为 A , B A , BA,B 集合的交集 ;
记作 : A ∩ B A \cap BA∩B , ∩ \cap∩ 称为 交运算符 ;
符号化表示 : A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B } A \cap B = \{ x | x \in A \land x \in B \}A∩B={x∣x∈A∧x∈B}
初级交 : 两个集合的交运算 , 可以推广到 有限个 / 可数个 集合的并运算 , 称为 初级交 ;
A 1 , A 2 , ⋯ , A n A_1 , A_2 , \cdots , A_nA
1
,A
2
,⋯,A
n
是 n nn 个集合 , 则 A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ∩ A n = { x ∣ ∀ i ( 1 ≤ i ≤ n → x ∈ A i ) } A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \{ x | \forall i ( 1 \leq i \leq n \ \to \ x \in A_i ) \}A
1
∩A
2
∩⋯∩A
n
={x∣∀i(1≤i≤n → x∈A
i
)} , 记作
⋂ i = 1 n A i = A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ∩ A n \bigcap_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n
i=1
⋂
n
A
i
=A
1
∩A
2
∩⋯∩A
n
A 1 , A 2 , ⋯ , A n , ⋯ A_1 , A_2 , \cdots , A_n , \cdotsA
1
,A
2
,⋯,A
n
,⋯ 是 可数个 个集合 , 则 初级并形式记作 :
⋂ i = 1 ∞ A i = A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ \bigcap_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \cap A_2 \cap \cdots
i=1
⋂
∞
A
i
=A
1
∩A
2
∩⋯
四、 交集示例
集合 A = { x ∈ N ∣ 5 ≤ x ≤ 10 } A = \{ x \in N | 5 \leq x \leq 10 \}A={x∈N∣5≤x≤10} , 集合 B = { x ∈ N ∣ x ≤ 10 ∧ x 是 素 数 } B = \{ x \in N | x \leq 10 \land x 是素数 \}B={x∈N∣x≤10∧x是素数}
A ∩ B = { 5 , 7 } A \cap B = \{ 5, 7 \}A∩B={5,7}
五、 不相交
不相交 : A , B A , BA,B 两个集合 , 如果 A ∩ B = ∅ A \cap B = \varnothingA∩B=∅ , 则称 A AA 和 B BB 两个集合是 不相交 的 ;
扩展到多个集合 : A 1 , A 2 , ⋯ A_1 , A_2 , \cdotsA
1
,A
2
,⋯ 是可数个集合 , 任意 i ≠ j i \not= ji
=j , A i ∩ A j = ∅ A_i \cap A_j = \varnothingA
i
∩A
j
=∅ 都成立 , 则称 A 1 , A 2 , ⋯ A_1 , A_2 , \cdotsA
1
,A
2
,⋯ 是互不相交的 ;
六、 相对补集
相对补集 : A , B A , BA,B 两个集合 , 属于 A AA 集合 而 不属于 B BB 集合 的 全体元素组成的集合 , 称为 B BB 对 A AA 的相对补集 ;
记作 : A − B A - BA−B
符号化表示 : A − B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B } A-B = \{ x | x \in A \land x \not\in B \}A−B={x∣x∈A∧x
∈B}
七、 对称差
对称差 : A , B A , BA,B 是两个集合 , 属于 A AA 集合 而 不属于 B BB 集合 , 属于 B BB 集合 而 不属于 A AA 集合 , 的 全体元素 , 组成的集合称为 A AA 与 B BB 的对称差 ;
记作 : A ⊕ B A \oplus BA⊕B
符号化表示 : A ⊕ B = { x ∣ ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨ ( x ∉ A ∧ x ∈ B ) } A \oplus B = \{ x | ( x \in A \land x \not\in B ) \lor ( x \not\in A \land x \in B ) \}A⊕B={x∣(x∈A∧x
∈B)∨(x
∈A∧x∈B)}
对称差 与 相对补集 关系 : A ⊕ B = ( A − B ) ∪ ( B − A ) = ( A ∪ B ) − ( A ∩ B ) A \oplus B = ( A - B ) \cup ( B - A ) = ( A \cup B ) - ( A \cap B )A⊕B=(A−B)∪(B−A)=(A∪B)−(A∩B)
( A − B ) ∪ ( B − A ) ( A - B ) \cup ( B - A )(A−B)∪(B−A) : A AA 对 B BB 的相对补集 , 与 B BB 对 A AA 的相对补集 的 并集 ;
( A ∪ B ) − ( A ∩ B ) ( A \cup B ) - ( A \cap B )(A∪B)−(A∩B) : A , B A, BA,B 的并集 对 A , B A,BA,B 交集的相对补集 ;
八、 绝对补集
绝对补集 : E EE 是全集 , A ⊆ E A \subseteq EA⊆E , 全集 E EE 包含 A AA 集合 , 称 A AA 对 E EE 的相对补集 为 A AA 的绝对补集 ;
记作 : ∼ A \sim A∼A
符号化表示 : ∼ A = { x ∣ x ∈ E ∧ x ∉ A } \sim A = \{ x | x \in E \land x \not\in A \}∼A={x∣x∈E∧x
∈A}
其中 E EE 是全集 , x ∈ E x \in Ex∈E 为永真式 , 根据 命题逻辑 等值演算 的 同一律 , 1 11 合取 任何值 , 真值还是 任何值 本身 ;
因此 , 可以 去掉 合取联结词 前面的 x ∈ E x \in Ex∈E , 结果为 :
∼ A = { x ∣ x ∉ A } \sim A = \{ x | x \not\in A \}∼A={x∣x
∈A}
九、 广义并集
广义并集 : A \mathscr{A}A 是一个 集族 , 集族 A \mathscr{A}A 中的全体 集合元素 的 元素组成的集合 , 称为 集族 A \mathscr{A}A 的广义并 ;
记作 : ∪ A \cup \mathscr{A}∪A
符号化表示 : ∪ A = { x ∣ ∃ z ( x ∈ z ∧ z ∈ A ) } \cup \mathscr{A} = \{ x | \exist z ( x \in z \land z \in \mathscr{A} ) \}∪A={x∣∃z(x∈z∧z∈A)}
广义并集示例 :
A = { { a , b } , { a , c } , { a , b , c } } \mathscr{A} = \{ \{a, b\} , \{a, c\} , \{a, b, c\} \}A={{a,b},{a,c},{a,b,c}}
∪ A = { a , b , c } \cup \mathscr{A} = \{ a, b, c \}∪A={a,b,c}
十、 广义交集
广义交集 : A \mathscr{A}A 是一个 集族 , 集族 A \mathscr{A}A 中的全体 集合元素 的 公共元素组成的集合 , 称为 集族 A \mathscr{A}A 的广义交 ;
记作 : ∩ A \cap \mathscr{A}∩A
符号化表示 : ∩ A = { x ∣ ∀ z ( z ∈ A → x ∈ z ) } \cap \mathscr{A} = \{ x | \forall z ( z \in \mathscr{A} \to x \in z ) \}∩A={x∣∀z(z∈A→x∈z)}
广义并集示例 :
A = { { a , b } , { a , c } , { a , b , c } } \mathscr{A} = \{ \{a, b\} , \{a, c\} , \{a, b, c\} \}A={{a,b},{a,c},{a,b,c}}
∩ A = { a } \cap \mathscr{A} = \{ a \}∩A={a}
十一、 集合运算优先级
第一类运算 ( 单目运算符 ) : 绝对补 , 幂集 , 广义交 , 广义并 ; 运算按照从左到右顺序运算 ;
第二类运算 ( 双目运算符 ) : 初级并 , 初级交 , 相对补 , 对称差 ; 按照括号结合顺序进行运算 , 没有括号按照从左右到顺序进行运算 ;
