算法的时间复杂度和空间复杂度-阿里云开发者社区

算法的复杂度：

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间 ( 内存 ) 资源。因此 衡量一个算法的好坏，一般 是从时间和空间两个维度来衡量的 ，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间 。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

算法的复杂度在当今的考核形式：

某学长 CVTE 面试：

1. 怎么计算一个类到底实例化了多少对象？

2. 如果还有一个派生类继承了这个类，那么如何计算这两个类，各自实例化了多少对象？

3. 你了解联合体和结构体吗？

4. 如何测试一个机器是大端还是小端？

5. 你了解队列和栈吗？

6. 怎么用两个栈实现一个队列。

7. 你使用过模版吗？

8. 写一个比较两个数大小的模板函数。

9. 你使用过容器吗？

10. 判断两个链表是否相交。

11. Vector 和数组的区别。

12. 你在学校里做的最满意的一个项目是什么？简述一下这个项目。

某学长腾讯的面试：

1 、自我介绍

2 、学习 STL 具体是怎么开展的？

3 、如果一款产品给你怎么检测内存泄露？

4 、进程间通信方式，共享内存是怎么实现的，会出现什么问题，怎么解决？

5 、 TCP 为什么是可靠的？可靠是怎么保证的？为什么要三次握手？为什么三次握手就可以可靠？

6 、 Http 数据分包问题；

7 、 Vector 相关；

8 、 Hashmap 相关；

9 、 红黑树的原理、时间复杂度等；

10 、 Memcpy 和 memmove 的区别；

11 、客户端给服务器发送数据，意图发送 aaa ，然后再发 bbb ，但是可能会出现 aaabbb 这种情

况，如何处理？

12 、游戏的邮件服务器中每天会有玩家频繁的创建邮件和删除邮件，海量数据、大小不一，会有

哪些场景，怎么存储，邮件是怎么到内存的？

13 、写一道算法题

某学姐百度的面试：

1. 手写五道题，三道编程题 ，一道数据库，一道 linux

2. 数据库的题两问

3. 算法了解的如何，插入排序编程

4. 说一下 IP,TCP,ARP

5. 内核是什么

比特科技 6.IP 层主要功能

7. map 和 set 底层

8.bootstrap 的用法 ,html,html 的全称

9. 你觉得框架和库有啥区别

10. 代码优化

11. 哈希表

12.shell 脚本

13. 快速排序思想

14. 递归是什么

15. 分治是什么，与递归区别是什么

16.web 平台是怎么做的

17.linux 命令

18. 了解些什么前沿的技术，英语怎么样，了解过什么英语的文献

总结：

可以看出，现在 公司对学生代码能力的要求是越来越高了，大厂笔试中几乎全是算法题而且难度

大，中小长的笔试中才会有算法题 。算法不仅笔试中考察，面试中面试官基本都会让现场写代

码。而算法能力短期内无法快速提高了，至少需要持续半年以上算法训练积累，否则真正校招时

笔试会很艰难，因此算法要早早准备。

时间复杂度

时间复杂度的概念：

时间复杂度的定义：在计算机科学中， 算法的时间复杂度是一个函数 ，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法 的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

大O的渐进表示法：

推导大O阶方法：

大 O 符号（ Big O notation ）：是用于描述函数渐进行为的数学符号

1 、用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。

2 、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3 、如果最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大 O 阶。

算法复杂度记录情形：

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数 ( 上界 )

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数 ( 下界 )

例如：在一个长度为 N 数组中搜索一个数据 x

最好情况： 1 次找到

最坏情况： N 次找到

平均情况： N/2 次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为 O(N)

常见的时间复杂度计算：

请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？

void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
 for (int j = 0; j < N ; ++ j)
 {
 ++count;
 }
}
 
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
 ++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
 ++count;
}
printf("%d\n", count);
}

此程序中Func1中++count计算：F(N) = N^2+2*N+10;

时间复杂度为：O(N^2)

计算Func2的时间复杂度？

void Func2(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

这段代码关键循环语句执行了 M+N 次，时间复杂度为：O(M+N)

计算Func3的时间复杂度？

void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

这段代码关键循环语句执行了 N+N 次，处理掉常数后时间复杂度为：O(N)

计算Func4的时间复杂度？

void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

这段代码关键循环语句执行了 100次，所有的常数在大O表达式中都为1，

经过处理时间复杂度为：O(1)

计算BubbleSort的时间复杂度？

void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

根据算法复杂度记录情形可知：执行次数为 (n-1)+(n-2)+(n-3)......+2+1=n*n/2（等差数列求和），冒泡排序的时间复杂度为 O(N^2)

计算BinarySearch的时间复杂度？

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n-1;
 // [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
 while (begin <= end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid-1;
 else
 return mid;
 }
 return -1;
}

计算可得到2 ^ x = N,通过数学运算知x= log N,时间复杂度为O(logN),默认情况log的下标为2。

计算阶乘递归Fac的时间复杂度？

long long Fac(size_t N)
{
 if(0 == N)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

时间复杂度为O(N)

计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？

long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

时间复杂度为O(2^N)

经典题型：消失的数字

思路一：

排序+遍历（一个数 != 下一个数，这个消失的数就是要找的数）

时间复杂度：O(logN*N)

思路二：

将0--n的数全部加起来，然后减去数组中的值，最后得到的结果就是消失的数

时间复杂度：O(N)

int missNumber(int* nums, int numsSize)
{
  int N = numsSize;
  int ret = N * (N + 1) / 2;
  for (int i = 0; i < N; i++)
  {
    ret -= nums[i];
  }
  return ret;
}

思路三：

单身狗问题解法：异或“ ^ ”

时间复杂度：O(N)

解法：定义一个数tmp为0，与0--n的数进行异或，然后与题所给的数组进行再次异或，

得出消失的数；

基础：a^a=0;a^b^a=b;

int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{
    int n = numsSize;
    int i = 0;
    int tmp = 0;
    for(i = 0; i <= n;i++ )
    {
        tmp ^= i;
    }
    for(i = 0;i < n;i++)
    {
        tmp ^= nums[i];
    }
    return tmp;
}

空间复杂度

概念：

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中 额外临时占用 存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少 bytes 的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似， 也使用大O渐进表示法 。

注意： 函数运行时所需要的栈空间 ( 存储参数、局部变量、一些寄存器信息等 ) 在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

计算BubbleSort的空间复杂度？

void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end > 0; --end)
 {
 int exchange = 0;
 for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 {
 if (a[i-1] > a[i])
 {
 Swap(&a[i-1], &a[i]);
 exchange = 1;
 }
 }
 if (exchange == 0)
 break;
 }
}

空间复杂度计算额外临时创建的变量，在这有size_t end，size_t i，int exchange = 0;三个，又因为是常量，所以空间复杂度： O(1)

计算Fibonacci的空间复杂度？

返回斐波那契数列的前 n 项

long long* Fibonacci(size_t n)
{
 if(n==0)
 return NULL;
 
 long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
 fibArray[0] = 0;
 fibArray[1] = 1;
 for (int i = 2; i <= n ; ++i)
 {
 fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
 return fibArray;
}

在这里malloc()函数动态开辟了(n+1)个内存，在其余的常数次开辟不计入情况下：

空间复杂度：O(n)

计算阶乘递归Fac的空间复杂度？

long long Fac(size_t N)
{
 if(N == 0)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

这里的Fac()函数递归调用N次Fac(),每次都创建一次临时空间，所以空间复杂度：O(N)

计算斐波那契递归Fib的kj复杂度？

long long Fib(size_t N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

通过与可以看出Fib()不断的调用，但是通过函数栈帧可以知道：

时间积累一去不复返；

空间可以重复利用；

这样就可以知道在创建Fib(2)后运行结束，会将Fib(2)销毁,然后才去执行Fib(1),这样就实现了空间上的重复利用，所以这里的空间复杂度：O(N)

小知识：

通过左图可知，递归次数过多，会将堆栈爆满，造成溢出；

通过右图可知，函数调用后会将创建的内存销毁，其他的函数可以在这块空间上再创建，继续在这块空间上创建的主要因数是类型。

练习：

旋转数字(考虑时间复杂度和空间复杂度)

给定一个整数数组 nums，将数组中的元素向右轮转 k 个位置，其中 k 是非负数。

思路一：

如图：

void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{
  int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * numsSize);
  k = numsSize % k;
  
  memcpy(tmp, nums + numsSize - k, sizeof(int) * k);
  memcpy(tmp+k, nums, sizeof(int) * (numsSize - k));
  memcpy(nums, tmp , sizeof(int) * numsSize);
}

思路二：

创建reverse()函数传入三个值分别为数组地址，从第几个数组元素开始，结束元素位置；

在reverse（）函数中实现颠倒，swap()函数实现交换。

先将数组分为两部分0--(k-1)和k--(sz-1),然后分别旋转；

//交换位置
void swap(int* a, int* b) {
    int t = *a;
    *a = *b, *b = t;
}
//实现颠倒
void reverse(int* nums, int start, int end) {
    while (start < end) {
        swap(&nums[start], &nums[end]);
        start += 1;
        end -= 1;
    }
}
//起始位置
void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{
    int sz = numsSize;
    int i = 0;
    int j = 0;
    int tmp = 0;
    k = k % sz;
    reverse(nums,0,sz-1);
    reverse(nums,0,k-1);
    reverse(nums,k,sz-1);
}

自此数据结构算法复杂度学习结束！

重要的事情说三遍：

记得三连！记得三连！记得三连！

算法的时间复杂度和空间复杂度

算法的复杂度：

算法的复杂度在当今的考核形式：

总结：

时间复杂度

时间复杂度的概念：

大O的渐进表示法：

推导大O阶方法：

算法复杂度记录情形：

常见的时间复杂度计算：

请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？

计算Func2的时间复杂度？

计算Func3的时间复杂度？

计算Func4的时间复杂度？

计算BubbleSort的时间复杂度？

计算BinarySearch的时间复杂度？

计算阶乘递归Fac的时间复杂度？

计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？

经典题型：消失的数字

思路一：

思路二：

思路三：

空间复杂度

概念：

计算BubbleSort的空间复杂度？

计算Fibonacci的空间复杂度？

计算阶乘递归Fac的空间复杂度？

计算斐波那契递归Fib的kj复杂度？

小知识：

练习：

思路一：

思路二：

重要的事情说三遍：

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算法的复杂度：

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时间复杂度

时间复杂度的概念：

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常见的时间复杂度计算：

请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？

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计算Fibonacci的空间复杂度？

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计算斐波那契递归Fib的kj复杂度？

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