[数据结构]时间复杂度与空间复杂度

如何衡量一个算法的好坏

long long Fib(int N)
{
    
    
 if(N < 3)
 return 1;
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

这是一个求斐波那契数列的函数，使用递归的方法求得，虽然代码看起来很简洁，但是简洁真的就好吗？

这就是我们本节要学的时间复杂度和空间复杂度要去讨论的话题，等理解了之后再回头来看这道题。

算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

时间复杂度

时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。

一个算法执行所耗费的时间，理论上是不能算出来的，只有你把程序在计算机上跑一遍之后才能知道，但是每一个算法我们都要上机测试的话很麻烦，所以才有了时间复杂度这个概念。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。也就是说：

找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

来看一个计算例子：

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
    
    
 int count = 0;
 for (int i = 0; i < N ; ++ i)
 {
    
    
     for (int j = 0; j < N ; ++ j)
     {
    
    
          ++count;
     }
 }
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
    
    
         ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
    
    
     ++count; 
 }
    printf("%d ",count);

问这个算法时间复杂度是多少？

如果从第一行来算的话，我们一共有10行代码，也就是有限次，并且由于中间有循环，所以有代码是被执行了多次，所以时间复杂度结果是：
$$ > F(N)=N^2+2N+10 > $$
这时候我们就要考虑一下了，既然时间复杂度是一个函数，这里的算法还算简单，如果是一些复杂的算法时间复杂度岂不是很复杂，所以我们有了大O的渐进表示法，N取不同值F(N)当然也是不同的，当N趋向于无穷大时，其实后面2N+10当然是可以忽略的，所以我们只保留函数的最高的那个量级即可。

大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

大O阶方法表示：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

例如上面O(N^2^)，如果N^2^前面有系数的话也是可以去掉的。

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

当考虑一个算法时：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

当分情况考虑时，我们还有最好情况，平均情况，和最坏情况之分，我们计算时间复杂度通常来讲我们是考虑最坏情况的。

小试牛刀

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
    
    
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
    
    
     ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
    
    
     ++count;    
 }
 printf("%d\n", count);
}

答案：O(N)

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
    
    
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
    
    
     ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
    
    
     ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

答案：O(M+N)

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
    
    
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
    
    
     ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

答案：O(1)

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );

答案：O(strlen(str))

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
    
    
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
    
    
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
    
    
            if (a[i-1] > a[i])
            {
    
    
                Swap(&a[i-1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
        if (exchange == 0)
            break;
    }
}

答案：O(N^2)

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
    
    
    assert(a);
    int begin = 0;
    int end = n-1;
// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
    while (begin <= end)
    {
    
    
        int mid = begin + ((end-begin)>>1);
        if (a[mid] < x)
            begin = mid+1;
        else if (a[mid] > x)
            end = mid-1;
        else
            return mid;
    }
    return -1;
}

答案：O(logN)，logN是log以2为底N的对数。提示：要分析程序的语义，不要只数循环。

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
    
    
 if(0 == N)
     return 1;

 return Fac(N-1)*N;
}

答案：O(N)，通常递归的时间复杂度通常是递归的深度。

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
    
    
 if(N < 3)
     return 1;

 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

答案：O(2^N)

只有这个比较有难度，这个递归实际上是一个二叉树的结构

每一层的次数都是一个等比数列，求和即可得到结果。

空间复杂度

空间复杂度概念

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用

大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外

空间来确定。

小试牛刀

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
    
    
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
    
    
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
    
    
            if (a[i-1] > a[i])
            {
    
    
                Swap(&a[i-1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
        if (exchange == 0)
            break;
    }
}

答案：O(1)

因为其中只创建了3个变量，也就是常数个。

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
    
    
if(N == 0)
  return 1;

    return Fac(N-1)*N;
}

答案：O(N)

在栈上开辟了N块空间，空间复杂度是O(N)

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
    
    
 if(n==0)
     return NULL;

 long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
 fibArray[0] = 0;
 fibArray[1] = 1;
 for (int i = 2; i <= n ; ++i)
 {
    
    
     fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
 return fibArray;
}

答案：O(N)

这个是有难度的，要对函数栈帧理解的比较深刻，并且知道这个递归是怎么进行的，

二叉树结构的递归调用实际上是深度优先：

只有当最左边的调用一直到底时返回才会调用右边，当函数返回时，函数的栈帧就已经销毁了，所以再次回来时，还是同一块空间，并没有额外的空间开销，

所以最终空间复杂度为O(N)

以上就是学习数据结构之前要知道的时间复杂度和空间复杂度两个概念，再次提一下：现如今计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。在写算法时重点考虑时间复杂度即可。