1. 煤球数目(结果填空)
有一堆煤球，堆成三角棱锥形。具体：
第一层放1个，
第二层3个（排列成三角形），
第三层6个（排列成三角形），
第四层10个（排列成三角形），
…
如果一共有100层，共有多少个煤球？
请填表示煤球总数目的数字。
注意：你提交的应该是一个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字.
思路:通过分析题目很容易能找到规律,第n层数目=n-1层数目+n ,可以用一个变量来存储每一层变量的和，另一个变量来存储总和.另一种方法是用递归来做这道题.(递归在算法中占着很重要的角色，也不容易理解,我们尽量把遇到的循环修改为递归，久而久之我们则会融会贯通)
方法一:循环
#include<iostream> using namespace std; int main() { int n = 0; int sum = 0; for (int i = 1; i <= 100; i++) { n += i; sum += n; } cout << sum << endl; return 0; }
方法二:递归
#include<iostream> using namespace std; int f(int n) { if (n == 1) { return 1; } return f(n - 1) + n; } int sum(int n) { if (n == 1) { return 1; } return f(n) + sum(n - 1); } int main() { cout << sum(100) << endl; return 0; }
答案:171700
2. 生日蜡烛(结果填空)
某君从某年开始每年都举办一次生日party，并且每次都要吹熄与年龄相同根数的蜡烛。现在算起来，他一共吹熄了236根蜡烛。请问，他从多少岁开始过生日party的？请填写他开始过生日party的年龄数。 注意：你提交的应该是一个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。
思路:这题比较容易，采取枚举即可(1-100)
#include<iostream> using namespace std; int main() { for (int i = 1;i <= 100; i++) { int sum = 0; for (int j = i; j <= 100; j++) { sum += j; if (sum == 236) cout << i << endl; } } return 0; }
3. 凑算式(结果填空)
这个算式中AI代表19的数字，不同的字母代表不同的数字。
比如：
6+8/3+952/714 就是一种解法，
5+3/1+972/486 是另一种解法。
这个算式一共有多少种解法？
注意：你提交应该是个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。
思路:此题是非常典型的全排列问题,定义数组a[10],来存储1-9数字，然后通过递归和回溯来进行全排列,这是一个非常通用的递归函数,可以直接记住模板,下次遇到套用即可.当然这里也可以直接运用next_permutation来进行全排列,全排列后判断此式子是否满足题目条件,等于10;为了更好让读者了解下面的check函数，我将画图来进行解释.
代码：
#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int ants = 0; int a[] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }; bool check() { int x = a[3] * 100 + a[4] * 10 + a[5]; int y = a[6] * 100 + a[7] * 10 + a[8]; if ((a[1] * y + a[2] * x) % (a[2] * y) == 0 && a[0] + (a[1] * y + a[2] * x) /( a[2] * y) == 10) { return true; } else { return false; } } /*递归回溯生成全排列,适应于无重复元素的情况*/ void f(int k) { if (k == 9)//一种排列已经生成 { if (check())//检查该排列是否符合题意 { ants++; } } //从k往后的每个数都可以放在k的位置 for (int i = k; i < 9; i++) { {int temp = a[i]; a[i] = a[k]; a[k] = temp; } f(k + 1);//递归 {int temp = a[i]; a[i] = a[k]; a[k] = temp; //回溯 } } } int main() { f(0); //可以直接用next_permutation来完成 /*do { if (check()) { ants++; } } while (next_permutation(a, a + 9));*/ cout << ants << endl; return 0; }
4. 快速排序(代码填空)
排序在各种场合经常被用到。
快速排序是十分常用的高效率的算法。
其思想是：先选一个“标尺”，
用它把整个队列过一遍筛子，
以保证：其左边的元素都不大于它，其右边的元素都不小于它。
这样，排序问题就被分割为两个子区间。
再分别对子区间排序就可以了。
下面的代码是一种实现，请分析并填写划线部分缺少的代码。
#include <stdio.h> void swap(int a[], int i, int j) { int t = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = t; } int partition(int a[], int p, int r) { int i = p; int j = r + 1; int x = a[p]; while(1){ while(i<r && a[++i]<x); while(a[--j]>x); if(i>=j) break; swap(a,i,j); } ______________________; return j; } void quicksort(int a[], int p, int r) { if(p<r){ int q = partition(a,p,r); quicksort(a,p,q-1); quicksort(a,q+1,r); } } int main() { int i; int a[] = {5,13,6,24,2,8,19,27,6,12,1,17}; int N = 12; quicksort(a, 0, N-1); for(i=0; i<N; i++) printf("%d ", a[i]); printf("\n"); return 0; }
思路:我们只要依据快速排序的整体思路分析相关代码即可：while(ix);表明右指针找到比目标值小的数字，f(i>=j) break;表明形成小标i>=j就终止.swap(a,i,j);交换a[i],a[j]即使得逆序对复原，符合左小右大的整体区间。经过以上的步骤，我们可以确定一次逆序对被复原，则现在程序进行到了标准值P更换的步骤。我们将交换swap(a,p,j)因为p是标准值，a[j]则是小于标准值的值,而程序中P为a[0],则我们应该将P更换为最小值，所以更换为a[j].
答案:swap(a,p,j);
5. 抽签(代码填空)
X星球要派出一个5人组成的观察团前往W星。 其中： A国最多可以派出4人。 B国最多可以派出2人。 C国最多可以派出2人。 ....
那么最终派往W星的观察团会有多少种国别的不同组合呢？
下面的程序解决了这个问题。 数组a[] 中既是每个国家可以派出的最多的名额。 程序执行结果为：
DEFFF
CEFFF
CDFFF
CDEFF
CCFFF
CCEFF
CCDFF
CCDEF
BEFFF
BDFFF
BDEFF
BCFFF
BCEFF
BCDFF
BCDEF
....
(以下省略，总共101行)
思路:这道题看到可以看到if那里有个返回,下面又有两个for循环,因此我们推出很可能就是递归,接着往下看,看到k初始值为0,它终止条件又是k=N(6),说明k在不断增大,m初始值为5,最后输出条件确实m=0，则推断m在不断缩小,有两个变量在不停变换再结合其形式,我们则肯定为这是个递归表达式.
1 #include <stdio.h> 2 #define N 6 3 #define M 5 4 #define BUF 1024 5 6 void f(int a[], int k, int m, char b[]) （数组a存放每个国家可以派出的人数；k表示国家个数，也作为深搜中外循环的条件；m表示剩下的人数；数组b存放情况的可能性） 7 { 8 int i,j; 9 10 if(k==N){ 11 b[M] = 0;//这里是控制输出的字符串长度 12 if(m==0) printf("%s\n",b); 13 return; 14 } 15 16 for(i=0; i<=a[k]; i++){//试着将k国家派出i个人 17 for(j=0; j<i; j++) b[M-m+j] = k+'A'; 18 _____________; //填空位置 19 } 20 } 21 int main() 22 { 23 int a[N] = {4,2,2,1,1,3}; 24 char b[BUF]; 25 f(a,0,M,b); 26 return 0; 27 }
答案: f(a,k+1,m-i,b);
6. 方格填数(结果填空)
如图，如下的10个格子，填入0~9的数字。要求：连续的两个数字不能相邻。
（左右、上下、对角都算相邻）一共有多少种可能的填数方案？
请填写表示方案数目的整数。
思路:这道题我看到0-9填数，首先想到的是全排列问题的运用，也可能是上面用到过此方法，所以比较敏感，上面我们总结了这个方法的模板，只需要改变check()函数即可完成.其次如果实在没办法，爆搜也不失为一种方法，反正是填空题.
方法一:全排列
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; int ants ; int a[10] = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }; bool check() { if (abs(a[0] - a[1]) == 1 || abs(a[0] - a[3]) == 1 || abs(a[0] - a[4]) == 1 || abs(a[0] - a[5]) == 1 || abs(a[1] - a[2]) == 1 || abs(a[1] - a[4]) == 1 || abs(a[1] - a[5]) == 1 || abs(a[1] - a[6]) == 1 || abs(a[2] - a[5]) == 1 || abs(a[2] - a[6]) == 1 || abs(a[3] - a[4]) == 1 || abs(a[3] - a[7]) == 1 || abs(a[3] - a[8]) == 1 || abs(a[4] - a[5]) == 1 || abs(a[4] - a[7]) == 1 || abs(a[4] - a[8]) == 1 || abs(a[4] - a[9]) == 1 || abs(a[5] - a[6]) == 1 || abs(a[5] - a[8]) == 1 || abs(a[5] - a[9]) == 1 || abs(a[6] - a[9]) == 1 || abs(a[7] - a[8]) == 1 || abs(a[8] - a[9]) == 1) return false; return true; } void f(int k) { if (k == 10) { if (check()) { ants++; } return; } for (int i = k; i < 10; i++) { {int temp = a[i]; a[i] = a[k]; a[k] = temp; } f(k + 1); {int temp = a[i]; a[i] = a[k]; a[k] = temp; } } } int main() { /*do { if (check()) { ants++; } } while (next_permutation(a, a + 10));*/ f(0); cout << ants << endl; return 0; }
方法二:暴搜
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int a[4][5],visit[10]; int dx[4]={-1,-1,-1,0}; int dy[4]={0,1,-1,-1}; int sum; bool check(int x,int y,int n){ for(int i=0;i<4;i++){ int xx=x+dx[i]; int yy=y+dy[i]; if(xx<3&&xx>=0&&yy>=0&&yy<4){ if(abs(a[xx][yy]-n)==1) return false; } } return true; } void dfs(int x,int y){ if(x==2&&y==3){ sum++; return; } for(int i=0;i<10;i++){ if(visit[i]==0&&check(x,y,i)){ visit[i]=1; a[x][y]=i; if(y+1<4) dfs(x,y+1); else dfs(x+1,0);//另起一行 visit[i]=0; } } } int main(){ for(int i=0;i<4;i++) for(int j=0;j<4;j++) a[i][j]=-20; dfs(0,1); cout<<sum; return 0; }
答案:1580
7. 剪邮票(结果填空)
剪邮票
如【图1.jpg】, 有12张连在一起的12生肖的邮票。
现在你要从中剪下5张来，要求必须是连着的。
（仅仅连接一个角不算相连）
比如，【图2.jpg】，【图3.jpg】中，粉红色所示部分就是合格的剪取。
请你计算，一共有多少种不同的剪取方法。
请填写表示方案数目的整数。
注意：你提交的应该是一个整数，不要填写任何多余的内容或说明性文字。
思路:本题很容易想到DFS深搜来做，但单单深搜会出现问题,会出现”T"形,深搜不能同时向右和i向下.故,我们应该使用全排列，然后然后将其放入二维数组中，用深搜判断是否具有连通性,话不多说直接上代码:(注意这里不能手写完成全排列需要用next_permutation因为手写全排列会出现重复现象，而此函数则生成无重复)
#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; int ants; int a[] = { 0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1 }; void dfs(int g[3][4],int x, int y) { g[x][y] = 0; if (x - 1 >= 0 && g[x - 1][y] == 1)dfs(g, x - 1, y); if (x + 1 <= 2 && g[x + 1][y] == 1)dfs(g, x + 1, y); if (y - 1 >= 0 && g[x][y - 1])dfs(g, x, y - 1); if (y + 1 <= 3 && g[x][y + 1])dfs(g, x, y + 1); } bool check() { int g[3][4]; //将某个排列银蛇到 for (int i = 0; i < 3; i++) { for (int j = 0; j < 4; j++) { if (a[i * 4 + j] == 1)g[i][j] = 1; else g[i][j] = 0; } } int cnt = 0; for (int i = 0; i < 3; i++) { for (int j = 0; j < 4; j++) { if (g[i][j] == 1) { dfs(g,i, j); cnt++; } } } return cnt == 1; } int main() { do { if (check()) { ants++; } } while (next_permutation(a, a + 12)); cout << ants << endl; return 0; }
答案:116
8. 四平方和(编程题)
四平方和定理，又称为拉格朗日定理：每个正整数都可以表示为至多4个正整数的平方和。如果把0包括进去，就正好可以表示为4个数的平方和。比如：5 = 0^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 7 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 （^符号表示乘方的意思）对于一个给定的正整数，可存在多种平方和的表示法。要求你对4个数排序：0 <= a <= b <= c <= d。并对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法。程序输入为一个正整数N (N<5000000)，要求输出4个非负整数，按从小到大排序，中间用空格分开
例如，输入：
5
则程序应该输出：
0 0 1 2
再例如，输入：
12
则程序应该输出：
0 2 2 2
再例如，输入：
773535
则程序应该输出：
1 1 267 838
资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 3000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意: main函数需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include ， 不能通过工程设置而省略常用头文件。
提交时，注意选择所期望的编译器类型。
思路: 首先我们想到的是暴力枚举,这种做法时间复杂度较高,会造成运行超时，不过可以得到部分分，我们需要想办法来减少时间复杂度,此题我们可以通过减少for循环的次数来减少时间复杂度.
代码:
#include<iostream> #include<cmath> #include<map> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; map<int, int> m; for (int c = 0;c* c <= n / 2; c++) { for (int d = c; c*c+d*d <= n; d++) { if (m.find(c*c + d*d) == m.end()) { m[c*c + d*d] = c; } } } for (int a = 0; a*a <= n / 4; a++) { for (int b = a; a*a+b*b <= n / 2; b++) { if (m.find(n - a*a - b*b) != m.end()) { int c = m[n - a*a - b*b]; int d = (int)sqrt(n - a*a - b*b - c*c); cout << a << " " << b << " " << c << " " << d << endl; return 0; } } } return 0; }
9. 交换瓶子(编程题)
有N个瓶子，编号 1 ~ N，放在架子上。
比如有5个瓶子：
2 1 3 5 4
要求每次拿起2个瓶子，交换它们的位置。
经过若干次后，使得瓶子的序号为：
1 2 3 4 5
对于这么简单的情况，显然，至少需要交换2次就可以复位。
如果瓶子更多呢？你可以通过编程来解决。
输入格式为两行：
第一行: 一个正整数N（N<10000）, 表示瓶子的数目
第二行：N个正整数，用空格分开，表示瓶子目前的排列情况。
输出数据为一行一个正整数，表示至少交换多少次，才能完成排序。
例如，输入：
5
3 1 2 5 4
程序应该输出：
3
再例如，输入：
5
5 4 3 2 1
程序应该输出：
2
资源约定：
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 1000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意: main函数需要返回0
注意: 只使用ANSI C/ANSI C++ 标准，不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
注意: 所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include ， 不能通过工程设置而省略常用头文件。
提交时，注意选择所期望的编译器类型。
思路:这道题可以用冒泡排序,逆序对等方法做，不过效率比较低,这题我们采取，先建立数组,然后判断a[i]==i是否成立,如果不成立则用pos查找i的位置,然后进行swap交换即可;
代码:
#include<iostream> using namespace std; int a[10001]; int n; int ants; int pos(int x) { for (int i = 1; i <= n; i++) { if (a[i] == x) { return i; } } return -1; } void swap(int i, int j) { int temp = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = temp; } int main() { cin >> n; for (int i = 1; i <= n; i++) { cin >> a[i]; } for (int i = 1; i <= n; i++) { if (a[i] == i) { continue; } else { swap(pos(i), i); ants++; } } cout << ants << endl; return 0; }
10. 最大比例(编程题)
X星球的某个大奖赛设了M级奖励。每个级别的奖金是一个正整数。
并且，相邻的两个级别间的比例是个固定值。
也就是说：所有级别的奖金数构成了一个等比数列。
比如： 16,24,36,54
其等比值为：3/2
现在，我们随机调查了一些获奖者的奖金数。
请你据此推算可能的最大的等比值。
输入格式：
第一行为数字N(N<=100)，表示接下的一行包含N个正整数
第二行N个正整数Xi(Xi<1 000 000 000 000)，用空格分开。每个整数表示调查到的某人的奖金数额
要求输出：
一个形如A/B的分数，要求A、B互质。表示可能的最大比例系数
测试数据保证了输入格式正确，并且最大比例是存在的。
| 输入 | 3 1250 200 32 |
4 3125 32 32 200 |
3 549755813888 524288 2 |
| 输出 | 25/4 | 5/2 | 4/1 |
思路:等比数列求公比，Xi < 10^12先对各项排序，两两相除并约分，只要保证每次计算结果大于1，最后剩下的就是最大公比。N=100，O(N*N)还算可以接受。需要注意去重，以及公比为1的情况。
#include <cstdio> #include <algorithm> struct fs { __int64 fz, fm; bool operator == (const fs &B)const { if (B.fz != fz || B.fm != fm) return 0; return 1; } }data[105]; __int64 rd[105]; __int64 GCD(__int64 a, __int64 b) { __int64 c; while (c = a%b) a = b, b = c; return b; } fs slv(fs a, fs b) { if (a == b) return a; __int64 gcd; gcd = GCD(a.fz, b.fz); a.fz /= gcd; b.fz /= gcd; gcd = GCD(a.fm, b.fm); a.fm /= gcd; b.fm /= gcd; a.fz *= b.fm; b.fz *= a.fm; if (a.fz > b.fz) a.fm = b.fz; else a.fm = a.fz, a.fz = b.fz; return a; } int main() { int i, j, n; scanf("%d", &n); for (i = 0; i < n; ++i) scanf("%I64d", rd + i), data[i].fm = 1; std::sort(rd, rd + n); for (i = j = 0; i < n; ++i) if (rd[i] != rd[i + 1]) data[j++].fz = rd[i]; for (n = j - 1; n; --n) { for (i = 0; i < n; ++i) data[i] = slv(data[i], data[i + 1]); } if (j == 1) puts("1/1"); else printf("%I64d/%I64d", data[0].fz, data[0].fm); return 0; }
11. 总结
01 煤球数目 简单计算
02 生日蜡烛 等差数列求和
03 凑算式 全排列
04 快速排序 裸题
05 抽签 递归
06 方格填数 全排列+check
07 剪邮票 全排列+dfs求矩阵中的连通块
08 四平方和 枚举+优化(hash缓存)
09 交换瓶子 贪心
10 最大比例 数学，等比数列 预处理
