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如何使用叉积来计算一个平面的法向量?

如何使用叉积来计算一个平面的法向量?

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不吃核桃 2024-08-28 08:11:28 47 0
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  • 在三维空间中,一个平面的法向量可以通过计算两个不共线的向量的叉积来获得。以下是计算平面法向量的步骤:

    1. 选择两个不共线的向量:从平面上的任意两个不共线的向量开始。这些向量可以是平面上任意两个顶点的坐标向量,或者平面上的一条边上的向量。
    2. 计算这两个向量的叉积:将这两个向量相乘,得到一个新向量。叉积的计算方式是将第一个向量的x分量乘以第二个向量的y分量,然后减去第一个向量的y分量乘以第二个向量的x分量。
    3. 单位化叉积结果:得到叉积向量后,将其长度标准化,使其长度为1。这可以通过将叉积向量除以其长度(即向量的模)来实现。
    4. 得到法向量:单位化后的叉积向量即为所求平面的法向量。
      例如,假设平面上有两个顶点,它们的坐标分别为 (A(x_1, y_1, z_1)) 和 (B(x_2, y_2, z_2))。可以计算向量 (\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1))。然后,选择另一个不共线的向量,例如 (\vec{AC} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1)),其中 (C) 是平面上的第三个顶点。
      接下来,计算 (\vec{AB} \times \vec{AC}):
      image.png

    然后,单位化这个叉积向量:
    image.png

    其中 (||\vec{AB} \times \vec{AC}||) 是叉积向量的模。
    最终得到的 (\vec{N}) 就是平面的法向量。

    2024-08-31 21:05:51
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  • 首先选取平面上的两个非共线向量(例如,通过平面上的三个点v1, v2, v3,可以构造向量ab = v2 - v1和ac = v3 - v1)。然后,计算这两个向量的叉积得到一个新的向量,该向量即为平面的法向量。注意,叉积的结果需要除以自身的模长来得到单位法向量。例如:
    java
    Vertex ab = new Vertex(v2.x - v1.x, v2.y - v1.y, v2.z - v1.z);
    Vertex ac = new Vertex(v3.x - v1.x, v3.y - v1.y, v3.z - v1.z);
    // 法向量
    Vertex norm = new Vertex(
    ab.y ac.z - ab.z ac.y,
    ab.z ac.x - ab.x ac.z,
    ab.x ac.y - ab.y ac.x
    );
    double normalLength = Math.sqrt(norm.x norm.x + norm.y norm.y + norm.z * norm.z);
    norm.x /= normalLength;
    norm.y /= normalLength;
    norm.z /= normalLength;

    2024-08-28 13:50:08
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