一道逻辑题：我拿走了哪个数：报错
原文链接：http://www.cnblogs.com/baiyanhuang/archive/2010/06/23/1763981.html
作者：@baiyanhuang
有 1 到 10000 共 10000 个数，如果我从中随机拿走一个数，你如何知道我拿走了哪个？
相信很多人看过这道题，并知道答案，这几天和同事聊天时听到了这个问题，因为有过自己的思考过程，不妨记录下来。 说是逻辑题，其实也算是一道算法题，同事先讲了下他被面试中的思维过程：
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先把 10000 个数相乘，然后再将拿走一个数之后的 9999 个数相乘，两者相除即可。
这个算法是正确的，但是会有两个潜在的问题：
- 如此多的数相乘，其范围必然会超出系统提供的数据类型支持，当然你可以实现自己的大数表示的算法，但那样性能必然有影响。
- 假设扩展一下题目，提供的数组中有 0 的话，乘法就不可用了。
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针对前面提出的问题，同事想到了使用加法，先求出 10000 个数的和，再减去 9999 个数的和。
这样数据不会溢出，而且加法的效率比乘法也要高很多，即使数据中包含 0，也没有任何问题。
然后就过关了，自己回去之后思考了一下，觉得还可以扩展，假设所有的数加起来之后仍然会溢出，那该如何处理，比如从 1 到 (2^64-1)，于是想到了位操作，与、或，异或中，要数异或最为神奇，代入一看，果然合适: 先将所有的数异或起来，然后将拿走一个数之后的数异或起来，两者结果再异或，便是拿走的那个数。
我用 a,b,c,d 4 个数来做演示，因为异或符合结合律和交换律(你可以用 0,1 试一下)，于是：
a^b^c^d = (a^b^c)^d d = (a^b^c^d)^(a^b^c)
此处用异或的好处在于
- 不会溢出
- 异或的速度要快于加法
扩展一下题目，如果提供的不是整数，而是浮点数，会有问题吗？ 当然没有，因为是在位级别上操作，无论是整数还是浮点数，在这个算法看来，都是一堆位，处理起来没有什么差别。
再扩展一下题目，如果提供的数本身就超出了内置类型的表示范围，如在 1 到 2^128，该如何处理？ 这个问题是在写这篇文章的过程中想到的，暂时没有好的办法。
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这个问题实际上是一个经典的算法问题，涉及到位操作的高效性和数据处理的技巧。异或（XOR）操作在这里起到了关键作用，因为它具有以下性质：
- 任何数与0异或都等于本身。
- 相同的两个数异或结果为0。
- 异或运算满足交换律和结合律。
基于这些性质，无论数组中包含多少个元素，将所有元素进行异或操作的结果就是数组中所有元素的异或值。如果从这个数组中随机拿走一个数，然后对剩下的所有数再次进行异或操作，得到的结果将是被拿走的那个数与之前所有数异或结果的异或。由于第一次所有数异或的结果实际上就是被拿走的那个数（因为每个位上，如果有偶数个相同数字异或会得到0，奇数个则保留该位），所以第二次异或就相当于两次异或同一个数，即原数 ^ 原数 = 0，因此最终结果就是被拿走的数。
对于题目中的扩展情况： - 浮点数处理：理论上，如果浮点数在内存中表示遵循IEEE 754标准，其二进制表示也是可以进行位操作的。但实际上，直接对浮点数的位进行异或操作可能不直接适用于此题目的逻辑，因为浮点数的存储结构包括符号位、指数部分和尾数部分，直接异或可能会破坏其数值意义。不过，如果仅考虑题目要求找出缺失的数，且假设所有浮点数都是正数且没有特别小的数导致精度丢失，那么在特定场景下，这种思路仍可尝试，但需谨慎处理。 - 超大范围数值：当数值超出内置类型表示范围时，如提到的1到2^128，直接使用常规的数据类型进行操作确实会遇到问题。这时，可以借鉴大数运算的思想，实现自定义的大数类来支持异或等位操作。具体实现上，可以将大数分解成多个字节或更大的单位进行逐位处理，确保不会溢出，并通过模拟位操作的逻辑完成计算。这种方法虽然复杂度增加，但在理论上是可行的，且能够处理任意大小的整数。
综上所述，异或操作因其独特性质，在解决此类问题时非常有效，但对于非整数或超大数值的处理，则需要根据具体情况采取额外的措施来保证算法的正确性和可行性。
