例题1
求和：
方法1
首先令 
那么有
我们先算左半部分，先假设 
，那么有
而对于一般的 n ，令 
，我们只需要计算 
的部分，而这部分 
，所以结果为 
。
所以总的结果为：
这里解释一下为什么没有算右半部分？因为右半部分就是 
的这部分，已经计算过了。
方法2
因为 
，所以可以将原式替换掉，还是令 
，然后如下计算：
其中第二行交换了变量计算顺序。
定理1
这里直接介绍一个定理，就不证明了，过程比较复杂：
其中 
是一个无理数。
这个公式说明了，无理数 
的整数倍的小数部分均匀分布在 
之间。
这就给了我们一个启示，我们可以用它来生成随机数啊！其他用处还有很多，自己想咯。
例题2
求如下和式：
其中整数 
也是整数。
通过枚举 
，可以发现和式满足如下形式：
那么怎么计算出来呢？
首先做一个变形：
这就将原来的和式分为了三个部分求和。
第一个部分为：
具体怎么算留到下一章节，这里通过枚举可以发现它的值是有周期的，周期重复次数是 
。所以算出来结果为：
第二个部分为：
第三个部分为：
所以总的结果为：
这里我们对结果稍稍变形，可以得到另一个结果：
可以发现， m 和 n 是对称的！所以可以得到如下结论：
这有什么用呢？当 m 特别大、 n 很小的时候可以大大减少项的个数！
如果我们令 
，就会发现，得到的式子和之前证过的一个式子一模一样！
到这里为止，第三章取整就讲完了，下面开始讲第四章数论部分。
