3. 方阵 的行列式及其运算
注意：必须是方阵才有行列式→行列式必须是“方的”
性质：
（1）上 / 下三角形行列式展开：主对角元素相乘
（2）互换两行（列），行列式变号
（3）行（列）的公因子可以提到行列式外面：
一个数 × 行列式 = 该数 × 行列式的某一行（列）
（4）（行列式的值为0：）①有零行（列）②某两行 （列）对应成比例
（5）⭐行列式中某一行（列）元素与零一行（列）对应元素的代数余子式的乘积 之和为0
（6） 若行列式中某一行（列）的所有元素都是两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和
（7）奇数阶反对称行列式的值为0
运算性质：
（1） | kA | = kn| A |
（2）| AB | = | A | | B |
（3）| AT | = | A |
(2)的推广：①| ABCD··· | = | A | | B | | C | | D |···
②| Ak | = | A |k
4.余子式、代数余子式
注意推论↓*
5.伴随矩阵（必须是方阵）
“按行求，按列放”
性质：
（1）AA* = A*A = | A | E
（2） | A |A-1 = A*
（3）| A* | = | A | n-1
6.克拉默法则
n元1次方程组的系数行列式 D ≠ 0 ⇔ 有唯一解
⭐齐次：
D ≠ 0 → 仅有零解 D = 0 →有非零解
⭐非齐次：
D ≠ 0 → 有唯一解 D = 0 →无解 or 多解
7.初等变换
8.等价和等价类
等价：将矩阵A进行有限次的初等变换得到矩阵B，称A与B等价（注意不是相等），记作 A ≌ B 或 A ↔ B
等价类：所有与A等价的矩阵的集合称为一个等价类；
标准型是这个等价类中形状最简单的矩阵
9.标准型 （不一定方）
特点：左上角是一个单位矩阵，其余元素为0
一个矩阵的标准型唯一
决定因素：①原矩阵的行数、列数 ②上阶梯型非零行的行数
10.秩
“非零子式的最高阶数”
Am×n， 0 ≤ r(A) ≤ min{ m，n }
行满秩和列满秩：若 r(A) = m →行满秩；若 r(A) = n →列满秩
满秩和降秩：若r(A) = min{ m，n } →满秩；若r(A) ＜ min{ m，n } →降秩
性质：
①方阵A满秩⇔ r(A) = n ⇔ | A | ≠ 0 ⇔ A可逆 ⇔ A非奇异 ⇔ A ≌ En
② r(AT) = r(A)
③A ≌ B ⇔ r(A) = r(B)
④P，Q满秩 ⇔ r(PAQ) = r(A) = r(PA) = r(AQ)
⑤矩阵A乘满秩矩阵X，AX的秩 = A的秩
⑥满秩矩阵的标准型为同阶单位矩阵
11.逆矩阵（必须是方阵）
AB = BA = E，A(B)是可逆矩阵，B(A)称为A(B)的逆矩阵
逆矩阵求法：初等变换法
性质：
（1）若A可逆，(A-1)-1 = A、 | A-1 | = | A |-1 、(A-1)T =(AT)-1
（2）若AB同型且可逆，则AB可逆 (AB)-1 = B-1A-1
（3）若A可逆且常数k≠0，(kA)-1 = 1/k A-1
