第一章： 矩阵
1. 矩阵概念
矩阵定义：由m×n个数aij（i = 1，2 ···，m ；j = 1，2 ···，n）按一定顺序排成的m行n列的矩形数表
注意：矩阵表示的是一个数表，不是一个具体的数
主对角线：
当m = n，即矩阵的行数与列数相同时，称矩阵为n阶方阵 或 n阶矩阵，在n阶方阵A中，元素aii （i = 1，2，···，n）排成的对角线称为方阵A的主对角线
行矩阵：
当m = 1时，得到一个1行n列的矩阵
A1×n = (a11 a12 ··· a1n)
称它为行矩阵
列矩阵：
当n = 1时，得到一个m行1列的矩阵
Am×1 = (a11 a21 ··· am1)T
称它为行矩阵
几种特殊矩阵↓
1） 零矩阵：
💛所有元素皆为0的矩阵称为零矩阵，简称零阵，记为O或Om×n
2） 对角矩阵（是方阵）
💛一个n阶方阵，若除主对角线上的元素aii （i = 1，2，···，n）外，其余元素全部为0，则称这个矩阵为对角矩阵，对角矩阵通常用Λ表示
（非主对角线上的零元素可省略不写）也可记作：diag（λ1，λ2，···，λn）
3） 单位矩阵（是方阵）
💛是特殊的对角矩阵；
主对角线上元素全是1的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位矩阵通常用En（或I n）表示，下标n表示单位矩阵的阶数，有时也简记为E（或 I）
4） 标量矩阵（是方阵）
（又叫做“纯量矩阵”，“数量矩阵”）
💛主对角线上的元素全为常数k的对角矩阵称为标量矩阵
5） 三角形矩阵：（是方阵）
💛主对角线下（上）面的元素全为0的方阵称为上（下）三角形矩阵；上、下三角形矩阵统称为三角形矩阵
6） 阶梯型矩阵（不一定是方阵）
💛设A = (aij)m×n为非零矩阵，若非零行（至少有一个非零元素的行）全在零行的前面，且A中各非零行第一个（最后一个）非零元素前（后）面零元素的个数随行数增加而增加（减少），则称A为上（下）阶梯型矩阵
上阶梯型矩阵👇
下阶梯型矩阵则是0元素在右上↗方
注意：阶梯型是以主对角线为“界限”像下面这样的矩阵就不是阶梯型
2. 矩阵运算
主要包括矩阵的线性运算、乘法运算、矩阵的转置
💙1）线性运算：
矩阵的加、减法、数乘运算统称为线性运算
1》加、减法：
同型矩阵A = (aij)m×n 与 B = (bij)m×n，称矩阵C = (cij)m×n = (aij±bij)m×n为矩阵A与B的和（差），记为C = A ± B
注意：只有同型矩阵才能相加（减），其和（差）矩阵仍是与它们同型的矩阵
性质：
（1）A+B = B+A
（2）(A+B)+C = A+(B+C)
（3）A+O = O+A = A
（4）A+(-A) = (-A)+A = O
2》数乘
矩阵A = (aij)m×n，k为常数，以k乘A的每一个元素得到的矩阵称为数k与矩阵A的数量乘积，简称数乘，记作kA，即kA = (k·aij)m×n
性质：
（1）k(A+B) = kA + kB
（2）(k+l) A=kA + lA
（3）(kl) A = k(lA)
（4）1A = A；( -1 )A = -A；0A = O
💙2）乘法运算
设A为m×p的矩阵，B为p×n的矩阵，那么称m×n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C = AB，其中矩阵C中的第i行第j列元素可以表示为： (AB)ij = cij = ai1b1j + ai2b2j + ······ + aipbpj
矩阵相乘的前提：左乘矩阵的列数 = 右乘矩阵的行数
注意：
（1） AB有意义，BA 不一定有意义
（2）一般来说AB ≠ BA，即矩阵乘法不满足交换律
（3）由AB = O不能推出A = O或B = O,即两个非零矩阵的 乘积可以是零矩阵
（4）由AB = AC 且A ≠ O，不能推出 B = C ，即矩阵乘法不满足消去律
性质：
（1） (AB)C = A(BC)
（2）A ( B+C ) = AB +AC
（3）( B+C ) A = BA + CA
（4）k (AB) = (kA) B = A (kB)
（5）Em Am×n = Am×nEn = Am×n
（6）Am×nOn×s = Om×s
💙3）矩阵的转置
将矩阵A = (aij)m×n的行列互换得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作AT
性质：
（1） (AT)T = A
（2）(A + B)T = AT +BT
（3）(kA)T = kAT(k是常数)
（4）⭐(AB)T = BTAT
性质（4）可以推广：(A1A2 ··· Am)T = AmT···A2TA1T
📘对称矩阵与反对称矩阵
设A为n阶方阵，若AT = A ，则称A为对称矩阵；若AT = - A，则称A为反对称矩阵
对称矩阵特点：aij = aji
反对称矩阵特点：aij = -aji ； 由此可推得 aii = 0（主对角线元素为0）
对于任意n阶方阵A，A+AT、AAT、ATA都是对称矩阵；而A - AT是反对称矩阵
任意方阵A都可以写成对称矩阵与反对称矩阵的和：
A = (A+AT)/2 + (A - AT)/2
注意：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵
可以证明：若A、B为同型对称矩阵，AB为对称矩阵⇔AB = BA
（充分：∵(AB)T = AB；∵(AB)T = BTAT = BA；∴AB = BA 必要：∵AB = BA；∵(AB)T = BTAT = BA；∴(AB)T = AB）
