【刷穿 LeetCode】求「第 n 个超级丑数」的两种方式 :「优先队列」&「多路归并」

题目描述

这是 LeetCode 上的 313. 超级丑数 ，难度为 中等。

Tag : 「优先队列」、「多路归并」

超级丑数 是一个正整数，并满足其所有质因数都出现在质数数组 primes 中。

给你一个整数 n 和一个整数数组 primes ，返回第 n 个 超级丑数 。

题目数据保证第 n 个 超级丑数 在 32-bit 带符号整数范围内。

示例 1：

输入：n = 12, primes = [2,7,13,19]
输出：32 
解释：给定长度为 4 的质数数组 primes = [2,7,13,19]，前 12 个超级丑数序列为：[1,2,4,7,8,13,14,16,19,26,28,32] 。
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示例 2：

输入：n = 1, primes = [2,3,5]
输出：1
解释：1 不含质因数，因此它的所有质因数都在质数数组 primes = [2,3,5] 中。
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提示：

• 1 <= n <= 10^6106
• 1 <= primes.length <= 100
• 2 <= primes[i] <= 1000
• 题目数据 保证 primes[i] 是一个质数
• primes 中的所有值都 互不相同 ，且按 递增顺序 排列

基本分析

类似的题目在之前的每日一题也出现过。

本题做法与 264. 丑数 II 类似，相关题解在 这里。

回到本题，根据丑数的定义，我们有如下结论：

• 11 是最小的丑数。
• 对于任意一个丑数 xx，其与任意给定的质因数 primes[i]primes[i] 相乘，结果仍为丑数。

优先队列（堆）

有了基本的分析思路，一个简单的解法是使用优先队列：

1. 起始先将最小丑数 11 放入队列
2. 每次从队列取出最小值 xx，然后将 xx 所对应的丑数 x * primes[i]x∗primes[i] 进行入队。
3. 对步骤 22 循环多次，第 nn 次出队的值即是答案。

为了防止同一丑数多次进队，我们需要使用数据结构 SetSet 来记录入过队列的丑数。

代码：

class Solution {
    public int nthSuperUglyNumber(int n, int[] primes) {
        Set<Long> set = new HashSet<>();
        PriorityQueue<Long> q = new PriorityQueue<>();
        q.add(1L);
        set.add(1L);
        while (n-- > 0) {
            long x = q.poll();
            if (n == 0) return (int)x;
            for (int k : primes) {
                if (!set.contains(k * x)) {
                    set.add(k * x);
                    q.add(k * x);
                }
            }
        }
        return -1; // never
    }
}
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• 时间复杂度：令 primesprimes 长度为 mm，需要从优先队列（堆）中弹出 nn 个元素，每次弹出最多需要放入 mm 个元素，堆中最多有 n * mn∗m 个元素。复杂度为 O(n * m \log{(n * m)})O(n∗mlog(n∗m))
• 空间复杂度：O(n * m)O(n∗m)

多路归并

从解法一中不难发现，我们「往后产生的丑数」都是基于「已有丑数」而来（使用「已有丑数」乘上「给定质因数」primes[i]primes[i]）。

因此，如果我们所有丑数的有序序列为 a1,a2,a3,...,ana1,a2,a3,...,an 的话，序列中的每一个数都必然能够被以下三个序列（中的至少一个）覆盖（这里假设 primes = [2,3,5]primes=[2,3,5]）：

• 由丑数 * 22 所得的有序序列：1 * 21∗2、2 * 22∗2、3 * 23∗2、4 * 24∗2、5 * 25∗2、6 * 26∗2、8 * 28∗2 ...
• 由丑数 * 33 所得的有序序列：1 * 31∗3、2 * 32∗3、3 * 33∗3、4 * 34∗3、5 * 35∗3、6 * 36∗3、8 * 38∗3 ...
• 由丑数 * 55 所得的有序序列：1 * 51∗5、2 * 52∗5、3 * 53∗5、4 * 54∗5、5 * 55∗5、6 * 56∗5、8 * 58∗5 ...

我们令这些有序序列为 arrarr，最终的丑数序列为 ansans。

如果 primesprimes 的长度为 mm 的话，我们可以使用 mm 个指针来指向这 mm 个有序序列 arrarr 的当前下标。

显然，我们需要每次取 mm 个指针中值最小的一个，然后让指针后移（即将当前序列的下一个值放入堆中），不断重复这个过程，直到我们找到第 nn 个丑数。

当然，实现上，我们并不需要构造出这 mm 个有序序列。

我们可以构造一个存储三元组的小根堆，三元组信息为 (val, i, idx)(val,i,idx)：

• valval ：为当前列表指针指向具体值；
• ii ：代表这是由 primes[i]primes[i] 构造出来的有序序列；
• idxidx：代表丑数下标，存在关系 val = ans[idx] * primes[i]val=ans[idx]∗primes[i]。

起始时，我们将所有的 (primes[i], i, 0)(primes[i],i,0) 加入优先队列（堆）中，每次从堆中取出最小元素，那么下一个该放入的元素为 (ans[idx + 1] * primes[i], i, idx + 1)(ans[idx+1]∗primes[i],i,idx+1)。

另外，由于我们每个 arrarr 的指针移动和 ansans 的构造，都是单调递增，因此我们可以通过与当前最后一位构造的 ans[x]ans[x] 进行比较来实现去重，而无须引用常数较大的 Set 结构。

代码：

class Solution {
    public int nthSuperUglyNumber(int n, int[] primes) {
        int m = primes.length;
        PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a,b)->a[0]-b[0]); 
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            q.add(new int[]{primes[i], i, 0});
        }
        int[] ans = new int[n];
        ans[0] = 1;
        for (int j = 1; j < n; ) {
            int[] poll = q.poll();
            int val = poll[0], i = poll[1], idx = poll[2];
            if (val != ans[j - 1]) ans[j++] = val;
            q.add(new int[]{ans[idx + 1] * primes[i], i, idx + 1});
        }
        return ans[n - 1];
    }
}
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• 时间复杂度：需要构造长度为 nn 的答案，每次构造需要往堆中取出和放入元素，堆中有 mm 个元素，起始时，需要对 primesprimes 进行遍历，复杂度为 O(m)O(m)。整体复杂度为 O(\max(m, n\log{m}))O(max(m,nlogm))
• 空间复杂度：存储 nn 个答案，堆中有 mm 个元素，复杂度为 O(n + m)O(n+m)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.313 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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