AI 助理
备案控制台
开发者社区 云计算 文章 正文

【动态规划/背包问题】多维背包问题

2022-05-05 958
版权
版权声明：
本文内容由阿里云实名注册用户自发贡献，版权归原作者所有，阿里云开发者社区不拥有其著作权，亦不承担相应法律责任。具体规则请查看《 阿里云开发者社区用户服务协议》和 《阿里云开发者社区知识产权保护指引》。如果您发现本社区中有涉嫌抄袭的内容，填写 侵权投诉表单进行举报，一经查实，本社区将立刻删除涉嫌侵权内容。
简介： 【动态规划/背包问题】多维背包问题

网络异常，图片无法展示
|


前言


今天是我们讲解「动态规划专题」中的「背包问题」的第十四篇。


今天将学习「多维背包」，并完成一道相关练习题。


另外，我在文章结尾处列举了我所整理的关于背包问题的相关题目。


背包问题我会按照编排好的顺序进行讲解（每隔几天更新一篇，确保大家消化）。


你可以先尝试做做，也欢迎你向我留言补充，你觉得与背包相关的 DP 类型题目 ~


题目描述


这是 LeetCode 上的**「474. 一和零」**，难度为 Medium。


给你一个二进制字符串数组 和两个整数 和 。


请你找出并返回 的最大子集的大小，该子集中 最多 有 个 和 个 。


如果 的所有元素也是 的元素，集合 是集合 的子集 。


示例 1：


输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。
复制代码


示例 2：


输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。
复制代码


提示：


  • 1 <= strs.length <= 600
  • 1 <= strs[i].length <= 100
  • Strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
  • 1 <= m, n <= 100


基本分析


通常与「背包问题」相关的题考察的是将原问题转换为「背包问题」的能力。


要将原问题转换为「背包问题」，往往需要从题目中抽象出「价值」与「成本」的概念。

这道题如果抽象成「背包问题」的话，应该是：


每个字符串的价值都是 （对答案的贡献都是 ），选择的成本是该字符串中 的数量和 的数量。


问我们在 的数量不超过 ，0 的数量不超过 的条件下，最大价值是多少。


由于每个字符串只能被选一次，且每个字符串的选与否对应了「价值」和「成本」，求解的问题也是「最大价值」是多少。


（多维）01 背包


有了基本分析，我们可以直接套用 01 背包的「状态定义」来做：


代表考虑前 件物品，在数字 容量不超过 ，数字 容量不超过 的条件下的「最大价值」（每个字符串的价值均为 ）。


有了「状态定义」之后，「转移方程」也很好推导：


其中 数组记录的是字符串中出现的 数量。


代码（为了方便理解， 将第一件物品的处理单独抽了出来，也可以不抽出来，只需要将让物品下标从 开始即可，见 ）：


class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int len = strs.length;
        // 预处理每一个字符包含 0 和 1 的数量
        int[][] cnt = new int[len][2];
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            String str = strs[i];
            int zero = 0, one = 0;
            for (char c : str.toCharArray()) {
                if (c == '0') {
                    zero++;
                } else {
                    one++;
                }
            }
            cnt[i] = new int[]{zero, one}; 
        }
        // 处理只考虑第一件物品的情况
        int[][][] f = new int[len][m + 1][n + 1];
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            for (int j = 0; j <= n; j++) {
                f[0][i][j] = (i >= cnt[0][0] && j >= cnt[0][1]) ? 1 : 0;
            }
        }
        // 处理考虑其余物品的情况
        for (int k = 1; k < len; k++) {
            int zero = cnt[k][0], one = cnt[k][1];
            for (int i = 0; i <= m; i++) {
                for (int j = 0; j <= n; j++) {
                    // 不选择第 k 件物品
                    int a = f[k-1][i][j];
                    // 选择第 k 件物品（前提是有足够的 m 和 n 额度可使用）
                    int b = (i >= zero && j >= one) ? f[k-1][i-zero][j-one] + 1 : 0;
                    f[k][i][j] = Math.max(a, b);
                }
            }
        }
        return f[len-1][m][n];
    }
}
复制代码


class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int len = strs.length;
        int[][] cnt = new int[len][2];
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            String str = strs[i];
            int zero = 0, one = 0;
            for (char c : str.toCharArray()) {
                if (c == '0') zero++;    
                else one++;
            }
            cnt[i] = new int[]{zero, one}; 
        }
        int[][][] f = new int[len + 1][m + 1][n + 1];
        for (int k = 1; k <= len; k++) {
            int zero = cnt[k - 1][0], one = cnt[k - 1][1];
            for (int i = 0; i <= m; i++) {
                for (int j = 0; j <= n; j++) {
                    int a = f[k - 1][i][j];
                    int b = (i >= zero && j >= one) ? f[k - 1][i - zero][j - one] + 1 : 0;
                    f[k][i][j] = Math.max(a, b);
                }
            }
        }
        return f[len][m][n];
    }
}
复制代码


  • 时间复杂度：预处理字符串的复杂度为 O(\sum_{i = 0}^{k - 1}len(strs[i]))O(∑i=0k−1len(strs[i]))，处理状态转移的 O(k * m * n)O(k∗m∗n)。整体复杂度为：O(k * m * n + \sum_{i = 0}^{k - 1}len(strs[i]))O(k∗m∗n+∑i=0k−1len(strs[i]))
  • 空间复杂度：O(k * m * n)O(k∗m∗n)


滚动数组


根据「状态转移」可知，更新某个物品的状态时，只依赖于上一个物品的状态。


因此，可以使用「滚动数组」的方式进行空间优化。


代码（为了方便理解， 将第一件物品的处理单独抽了出来，也可以不抽出来，只需要将让物品下标从 开始即可，见 ）：


class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int len = strs.length;
        // 预处理每一个字符包含 0 和 1 的数量
        int[][] cnt = new int[len][2];
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            String str = strs[i];
            int zero = 0, one = 0;
            for (char c : str.toCharArray()) {
                if (c == '0') {
                    zero++;
                } else {
                    one++;
                }
            }
            cnt[i] = new int[]{zero, one}; 
        }
        // 处理只考虑第一件物品的情况
        // 「物品维度」修改为 2 
        int[][][] f = new int[2][m + 1][n + 1];
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            for (int j = 0; j <= n; j++) {
                f[0][i][j] = (i >= cnt[0][0] && j >= cnt[0][1]) ? 1 : 0;
            }
        }
        // 处理考虑其余物品的情况
        for (int k = 1; k < len; k++) {
            int zero = cnt[k][0], one = cnt[k][1];
            for (int i = 0; i <= m; i++) {
                for (int j = 0; j <= n; j++) {
                    // 不选择第 k 件物品
                    // 将 k-1 修改为 (k-1)&1
                    int a = f[(k-1)&1][i][j];
                    // 选择第 k 件物品（前提是有足够的 m 和 n 额度可使用）
                    // 将 k-1 修改为 (k-1)&1
                    int b = (i >= zero && j >= one) ? f[(k-1)&1][i-zero][j-one] + 1 : 0;
                    f[k&1][i][j] = Math.max(a, b);
                }
            }
        }
        // 将 len-1 修改为 (len-1)&1
        return f[(len-1)&1][m][n];
    }
}
复制代码


class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int len = strs.length;
        int[][] cnt = new int[len][2];
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            String str = strs[i];
            int zero = 0, one = 0;
            for (char c : str.toCharArray()) {
                if (c == '0') zero++;
                else one++; 
            }
            cnt[i] = new int[]{zero, one}; 
        }
        int[][][] f = new int[2][m + 1][n + 1];
        for (int k = 1; k <= len; k++) {
            int zero = cnt[k - 1][0], one = cnt[k - 1][1];
            for (int i = 0; i <= m; i++) {
                for (int j = 0; j <= n; j++) {
                    int a = f[(k-1) & 1][i][j];
                    int b = (i >= zero && j >= one) ? f[(k-1) & 1][i-zero][j-one] + 1 : 0;
                    f[k&1][i][j] = Math.max(a, b);
                }
            }
        }
        return f[len&1][m][n];
    }
}
复制代码


  • 时间复杂度：预处理字符串的复杂度为 O(\sum_{i = 0}^{k - 1}len(strs[i]))O(∑i=0k−1len(strs[i]))，处理状态转移的 O(k * m * n)O(k∗m∗n)。整体复杂度为：O(k * m * n + \sum_{i = 0}^{k - 1}len(strs[i]))O(k∗m∗n+∑i=0k−1len(strs[i]))
  • 空间复杂度：O(k * m * n)O(k∗m∗n)


一维空间优化


事实上，我们还能继续进行空间优化。


再次观察我们的「状态转移方程」发现： 不仅仅依赖于上一行，还明确依赖于比 小和比 小的状态。


即可只依赖于「上一行」中「正上方」的格子，和「正上方左边」的格子。


对应到「朴素的 01 背包问题」依赖关系如图：


网络异常，图片无法展示
|


因此可直接参考「01 背包的空间优化」方式：取消掉「物品维度」，然后调整容量的遍历顺序。


代码：


class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int len = strs.length;
        int[][] cnt = new int[len][2];
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            int zero = 0, one = 0;
            for (char c : strs[i].toCharArray()) {
                if (c == '0') zero++;
                else one++;
            }
            cnt[i] = new int[]{zero, one};
        }
        int[][] f = new int[m + 1][n + 1];
        for (int k = 0; k < len; k++) {
            int zero = cnt[k][0], one = cnt[k][1];
            for (int i = m; i >= zero; i--) {
                for (int j = n; j >= one; j--) {
                    f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i-zero][j-one] + 1);
                }
            }
        }
        return f[m][n];
    }
}
复制代码


  • 时间复杂度：预处理字符串的复杂度为 O(\sum_{i = 0}^{k - 1}len(strs[i]))O(∑i=0k−1len(strs[i]))，处理状态转移的 O(k * m * n)O(k∗m∗n)。整体复杂度为：O(k * m * n + \sum_{i = 0}^{k - 1}len(strs[i]))O(k∗m∗n+∑i=0k−1len(strs[i]))
  • 空间复杂度：O(m * n)O(m∗n)


总结


今天我们学习了「多维背包」问题，不难发现「多维背包」和「朴素传统背包」问题并无本质区别。


我们仍然采取「遍历物品 - 遍历容量（多维）- 遍历决策」的基本思路。


因此所谓的「多维背包」问题其实只是「传统背包」问题的拓展。


难点还是在于对「成本」和「价值」的抽象。


在明确了「成本」和「价值」之后，根据每件物品可选“一件”还是“多件”套用对应的「01 背包」或「完全背包」状态定义进行微调即可。


背包问题（目录）


  1. 01背包 : 背包问题 第一讲
  1. 【学习&练习】01背包 : 背包问题 第三讲
  2. 完全背包 : 背包问题 第四讲
  1. 多重背包 : 背包问题 第八讲
  2. 多重背包（优化篇）
  1. 混合背包 : 背包问题 第十一讲
  2. 分组背包 : 背包问题 第十二讲
  1. 多维背包 : 背包问题 第十四讲
  • 【练习】多维背包
  1. 树形背包
  • 【练习篇】树形背包
  1. 背包求方案数
  • 【练习】背包求方案数
  1. 背包求具体方案
  • 【练习】背包求具体方案
  1. 泛化背包
  • 【练习】泛化背包


最后


这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.474 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。


在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。


为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。


在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

宫水三叶的刷题日记
目录
相关文章
智商低情商凑
|
4月前
|
存储 算法
动态规划(背包问题)
动态规划(背包问题)
智商低情商凑
39 4
筱姌
|
4月前
|
C++
每日练习之——背包问题
每日练习之——背包问题
筱姌
23 1
闻缺陷则喜何志丹
|
5月前
|
算法 测试技术 C#
背包问题汇总
背包问题汇总
闻缺陷则喜何志丹
36 0
我菜就爱学
|
5月前
|
算法
动态规划—（背包问题）
动态规划—（背包问题）
我菜就爱学
28 0
想当开心果哦
|
5月前
|
消息中间件 Kubernetes NoSQL
动态规划- 背包问题总结（二）
动态规划- 背包问题总结（二）
想当开心果哦
36 0
想当开心果哦
|
5月前
|
消息中间件 Kubernetes NoSQL
动态规划- 背包问题总结（一）
动态规划- 背包问题总结（一）
想当开心果哦
53 0
Hayaizo
|
存储 算法
动态规划之背包问题
动态规划之背包问题
Hayaizo
89 0
游客gsugatesykzaq
背包_组合问题（动态规划）
背包_组合问题（动态规划）
游客gsugatesykzaq
195 0
夏微凉
动态规划：分组背包问题
动态规划：分组背包问题
夏微凉
83 0
二肥是只大懒蓝猫
|
人工智能 算法
动态规划：背包问题
背包问题
二肥是只大懒蓝猫
111 0
动态规划：背包问题