《 线性代数及其应用 （原书第4版）》——1.4 矩阵方程

本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 （原书第4版）》一书中的第1章，第1.4节，作者:（美）戴维C. 雷（David C. Lay）马里兰大学帕克学院 著刘深泉 张万芹 陈玉珍 包乐娥 陆 博 译，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看

1.4 矩阵方程 Ax = b

线性代数中的一个基本思想是把向量的线性组合看作矩阵与向量的积. 下列定义允许我们将1.3节的某些概念用新的方法表述出来.
定义 若A 是m*n 矩阵，它的各列为 . 若x 是 中向量，则A 与x 的积，记为 Ax，就是A 的各列以x 中对应元素为权的线性组合，即

注意Ax 仅当A的列数等于 x中元素个数时才有定义.
例1

例2 对 中 ，把线性组合 表示为矩阵乘向量的形式.
解 把 排列成矩阵 A，把数3，-5，7排列成向量 x，即

在1.3节中我们学习了将线性方程组写成包含向量线性组合形式的向量方程，例如，方程组
（1）
等价于
（2）
如例2所示，我们也可将方程左边的线性组合写成矩阵乘向量的形式，（2）成为
（3）
方程（3）有形式 Ax=b，我们称这样的方程为矩阵方程，以区别于（2）式那样的向量方程.
注意（3）中的矩阵仅是方程（1）中的系数矩阵，类似的计算说明，任何线性方程组，或类似于（2）式的向量方程，可以写成等价的形式为 的矩阵方程，这一简单的观点将在本书中重复使用.
下面是正式的结果.
定理3 若 A是m*n 矩阵，它的各列为 ，而b 属于 ，则矩阵方程
（4）
与向量方程
（5）
有相同的解集. 它又与增广矩阵为
（6）
的线性方程组有相同的解集.
定理3给出了研究线性代数问题的一个有力工具，使我们现在可将线性方程组用三种不同但彼此等价的观点来研究：作为矩阵方程、作为向量方程或作为线性方程组，当我们构造实际生活中某个问题的数学模型时，我们可自由地选择任何一种最自然的观点. 于是我们可在方便的时候由一种观点转向另一种观点. 任何情况下，矩阵方程、向量方程以及线性方程组都用相同方法来解——即用行化简算法来化简增广矩阵（6）. 其他解法将在以后讨论.
解的存在性
Ax的定义直接导致下列有用的事实.
方程 有解当且仅当 b是A 的各列的线性组合.
在1.3节中，我们考虑了存在性问题，“b 是否属于 ”等价地，“ 是否相容？”一个更困难的问题是要确定方程 对任意的 b是否有解.
例3 设 . 方程 .是否对一切可能的有解？
解 把 的增广矩阵行化简，

增广列的第3个元素为 ，方程 并不是对一切的b 都有解，因 可能不为零.
例3中的简化矩阵描述了使 有解的所有b 的集合； b必须满足

这是 中一个通过原点的平面，这个平面就是A 的3列的所有线性组合的集合，见图1-19.

例3中的方程 并非对所有的b 都相容，这是因为 A的阶梯形含有零行. 假如 A在所有三行都有主元，我们就不必注意增广列的计算，因为这时增广矩阵的阶梯形状不可能产生如 的行.
在下一定理中，当我们说 A的列生成 时，意思是说 中的每个向量 b都是A 的列的线性组合. 一般地， 中向量集 生成 ，意思是说， 中的每个向量都是 的线性组合，即 .
定理4 设 A是m*n 矩阵，则下列命题是逻辑上等价的，也就是说，对某个A ，它们都成立或者都不成立.

1. 对 中每个 b，方程 有解.
2. 中的每个b 都是 A的列的一个线性组合.
3. A的各列生成 .
4. A在每一行都有一个主元位置.
   定理4是本章中最有用的定理之一. 命题（a）、（b）和（c）等价是根据Ax 的定义和一组向量生成 空间的含意而得到的. 再根据例3后面的讨论得到命题（a）和（d）等价. 定理完整的证明在本节末尾中给出. 在习题中给出应用定理4的例子.

警告 定理4讨论的是系数矩阵，而非增广矩阵，若增广矩阵 [A b]在每一行都有主元位置，方程 可能相容，也可能不相容.
Ax的计算
例1中的计算是根据矩阵A 与向量x 的乘积的定义. 下面的例子给出手工计算Ax 的元素的一种更有效的方法.
例4 计算Ax ，其中 .
解 由定义

  ![1_21](https://yqfile.alicdn.com/260474476eeac38ed116fc22fbc6e9c7d925df70.png)    （7）

矩阵 Ax的第一个元素是A 的第一行与 x中相应元素乘积之和（有时称为点积），即

此矩阵说明，如何直接计算 Ax中的第一个元素，而不必像（7）中那样写出所有运算步骤. 类似地， Ax中的第二个元素可以直接把 A的第二行各元素与 x中对应元素相乘再求和得出：

类似地， Ax中第3个元素可由 A的第3行与 x的元素算出.
计算 Ax的行——向量规则
若乘积Ax 有定义，则Ax 中的第 i个元素是A 的第 i行元素与x 的相应元素乘积之和.
例5

例5（c）中的矩阵，主对角线上元素为1，其他位置上元素为0，这个矩阵称为单位矩阵，并记为 . （c）中的计算说明，对任意 中的x ，Ix=x . 类似地，有 n*n单位矩阵，有时记为 ，如（c）中所示，对任意 中的 x，.
矩阵-向量积 Ax的性质
下面定理中的事实是重要的，在本书里经常使用，它们的证明依赖于Ax 的定义及 的代数性质.
定理5 若A 是m*n 矩阵，u 和v 是 中向量， c是标量，则

证 为简单起见，取n=3 ，为 中的向量（一般情况的证明类似），对i=1,2,3 ，设 和 分别为u 和v 的第i 个元素. 为证明（a），把A(u+v) 作为A的各列的以u+v 的元素为权的线性组合来计算.

为证明（b），把 A(cu)作为A 的各列以cu 的各元素作为权的线性组合来计算.

数值计算的注解 为使计算Ax 的计算机算法最优化，一系列的计算对存储在相连的存储单元中的数据进行. 矩阵计算中最广泛运用的算法是用Fortran语言写成的，它把矩阵作为若干列来存储，这样的算法把Ax作为A的列的线性组合来计算. 对比而言，若程序用通用的C语言来写，它把矩阵按行存储， 就必须用另一种规则计算，这种算法使用A的行.
定理4的证明 如定理4后面所指出的，命题（a）、（b）和（c）逻辑上等价，因此，这里只需证明（对任意矩阵 A）命题（a）和（d）同时为真，或同时为假，就可以建立四个命题的等价性.
设 U为 A的阶梯形. 给定 中的b ，我们可把增广矩阵[A b] 行化简为增广矩阵 [U d]，这里d 是 中的某个向量.

若（d）成立， U的每一行包含一个主元位置而在增广列中不可能有主元. 故对任意 b， 有解，故（a）成立. 若（d）不成立， U的最后一行都是0，设 d是最后一个元素为1的向量，于是[U d] 代表一个不相容的方程组，因行变换是可逆的，[U d] 可变换为形如[A b]的矩阵，所得方程组 也是不相容的，故（a）也不成立.
练习题

1. 设 ，可以证明p 是 的一个解. 应用这个事实把 b表示为 A的列的线性组合.
2. 设 ，计算 A(u+v)和Au+Av 来验证定理5（a）.