文章目录
一、引入
1.1 信号分解的基本思想
1.2 系统特征函数
1.3 复指数分解
二、周期信号的傅里叶级数
2.1 谐波复指数集
2.2 傅里叶级数
2.2.1 表示形式
2.2.2 收敛条件
2.2.3 傅里叶系数
三、傅里叶变换
3.1 周期矩形脉冲信号
3.2 傅里叶变换对
四、傅里叶级数与傅里叶变换的联系
4.1 信号三参数
4.2 几何直观
一、引入
1.1 信号分解的基本思想
信号分析的基本思想之一是将复杂信号用基本信号表示，这样就能通过简单信号的性质来分析复杂信号。这里要求基本信号应具有：
（1）由这些基本信号能够构成相当广泛的一类信号
（2）线性时不变系统(LTIS)对基本信号的响应应当十分简单，以使其对任意输入信号的响应都有很方便的表达式
举例而言，基本信号可以是冲激函数
x ( t ) = ∫ x ( τ ) δ ( t − τ ) d τ x\left( t \right) =\int{x\left( \tau \right)}\delta \left( t-\tau \right) d\tau
x(t)=∫x(τ)δ(t−τ)dτ
上式即为连续时间信号的冲激分解，利用的是冲激函数的采样性质
将信号冲激分解后，就可以简单地利用冲激响应来表示输出：
y ( t ) = ∫ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ y\left( t \right) =\int{x\left( \tau \right)}h\left( t-\tau \right) d\tau
y(t)=∫x(τ)h(t−τ)dτ
1.2 系统特征函数
若系统对一个信号的响应仅为一个常数乘以该信号，则称该信号为此系统的特征函数，这个常数可以视作幅度因子，定义为特征值
1.3 复指数分解
按照1.1的思路，考察具有类似性质的基本信号——复指数
设激励 x ( t ) = e s t s ∈ C x\left( t \right) =e^{st}\,\, s\in C x(t)=e
st
s∈C，则输出通过上面说的冲激响应表示为：
y ( t ) = ∫ h ( τ ) x ( t − τ ) d τ = e s t ∫ h ( τ ) e − s τ d τ = e s t H ( s ) y\left( t \right) =\int{h\left( \tau \right)}x\left( t-\tau \right) d\tau =e^{st}\int{h\left( \tau \right) e^{-s\tau}}d\tau =e^{st}H\left( s \right)
y(t)=∫h(τ)x(t−τ)dτ=e
st
∫h(τ)e
−sτ
dτ=e
st
H(s)
按照1.2的定义知道，复指数信号为LTIS的特征函数，对任一给定的 s s s，常数 H ( s ) H(s) H(s)为特征值；而对于一般的 s s s， H ( s ) H(s) H(s)为关于 s s s的函数，称为系统函数，当 s s s为纯虚数时， H ( j w ) H(jw) H(jw)称为系统频率响应，下面要引入的傅里叶分析都是建立在 s = j w s=jw s=jw的基础上，当 s s s为一般复数时，考察的是拉普拉斯变换，本文不赘述。
那么复指数是否满足1.1节基本信号的要求呢？
为便于理解，先给出离散信号 x ( t ) = ∑ k c k e s k t x\left( t \right) =\sum_k{c_k}e^{s_kt} x(t)=∑
k
c
k
e
s
k
t
，则响应 y ( t ) = ∑ k c k H ( s k ) e s k t y\left( t \right) =\sum_k{c_kH\left( s_k \right)}e^{s_kt} y(t)=∑
k
c
k
H(s
k
)e
s
k
t
，即若信号可以进行复指数分解，则响应可表示为相同复指数的线性组合，系数与输入和频率响应相关
可见，复指数信号完美地符合了1.1的要求，在此基础上就建立起了傅里叶分析。
二、周期信号的傅里叶级数
2.1 谐波复指数集
设 x 0 ( t ) = e j ω 0 t x_0\left( t \right) =e^{j\omega _0t} x
0
(t)=e
jω
0
t
，定义基波频率为 ω 0 \omega _0 ω
0
，基波周期为 T 0 T_0 T
0
令谐波信号集：
ψ k ( t ) = e j k ω 0 t , k = 0 , ± 1 , ± 2 ⋯ \psi _k\left( t \right) =e^{jk\omega _0t}, k=0,\pm 1,\pm 2\cdots
ψ
k
(t)=e
jkω
0
t
,k=0,±1,±2⋯
其中 k = 0 k=0 k=0时为直流分量， k = ± N k=\pm N k=±N时为 N N N次谐波分量
注意到谐波复指数集中，每一个信号都可以 T 0 T_0 T
0
为周期，这是因为：
ψ k ( t ) = e j ( k ω 0 ) t ⇒ T k = 2 π ∣ k ∣ ω 0 = T 0 ∣ k ∣ \psi _k\left( t \right) =e^{j\left( k\omega _0 \right) t}\\\Rightarrow T_k=\frac{2\pi}{|k|\omega _0}=\frac{T_0}{|k|}
ψ
k
(t)=e
j(kω
0
)t
⇒T
k
=
∣k∣ω
0
2π
=
∣k∣
T
0
即每经过一个 T 0 T_0 T
0
，相当于经过了 ∣ k ∣ |k| ∣k∣个相应的谐波周期。因此，谐波复指数集的线性组合也就以 T 0 T_0 T
0
为周期：
x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k ω 0 t ( 1 ) x\left( t \right) =\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{a_k}e^{jk\omega _0t}\,\, \left( 1 \right)
x(t)=
k=−∞
∑
+∞
a
k
e
jkω
0
t
(1)
2.2 傅里叶级数
2.2.1 表示形式
在信号 x ( t ) x(t) x(t)可以复指数分解的条件下研究此问题。考察(1)式，现实中绝大多数信号为实信号，因此认为 x ( t ) x(t) x(t)为实数，满足：
x ( t ) ‾ = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k ω 0 t ‾ \overline{x\left( t \right) }=\overline{\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{a_k}e^{jk\omega _0t}}
x(t)
=
k=−∞
∑
+∞
a
k
e
jkω
0
t
由 x ( t ) = x ( t ) ‾ x\left( t \right) =\overline{x\left( t \right) } x(t)=
x(t)
导出：
x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a − k ‾ e j k ω 0 t x\left( t \right) =\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{\overline{a_{-k}}e^{jk\omega _0t}}
x(t)=
k=−∞
∑
+∞
a
−k
e
jkω
0
t
进一步：
x ( t ) = a 0 + ∑ k = 1 + ∞ [ a k e j ( k ω 0 ) t + a k e j ( k ω 0 ) t ‾ ] = a 0 + 2 ∑ k = 1 + ∞ Re { a k e j ( k ω 0 ) t } x\left( t \right) =a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}{\left[ a_ke^{j\left( k\omega _0 \right) t}+\overline{a_ke^{j\left( k\omega _0 \right) t}} \right]}\\=a_0+2\sum_{k=1}^{+\infty}{\text{Re}\left\{ a_ke^{j\left( k\omega _0 \right) t} \right\}}
x(t)=a
0
+
k=1
∑
+∞
[a
k
e
j(kω
0
)t
+
a
k
e
j(kω
0
)t
]
=a
0
+2
k=1
∑
+∞
Re{a
k
e
j(kω
0
)t
}
(1)若 a k a_k a
k
以极坐标形式给出，即 a k = A k e j w 0 a_k=A_ke^{jw_0} a
k
=A
k
e
jw
0
，此时
x ( t ) = a 0 + 2 ∑ k = 1 + ∞ A k cos [ ( k ω 0 ) t + θ k ] ( 2 ) x\left( t \right) =a_0+2\sum_{k=1}^{+\infty}{A_k\cos \left[ \left( k\omega _0 \right) t+\theta _k \right]}\,\,\,\left( 2 \right)
x(t)=a
0
+2
k=1
∑
+∞
A
k
cos[(kω
0
)t+θ
k
](2)
(2)若 a k a_k a
k
以笛卡尔坐标形式给出，即 a k = B k + j C k a_k=B_k+jC_k a
k
=B
k
+jC
k
，此时
x ( t ) = a 0 + 2 ∑ k = 1 + ∞ [ B k cos ( k ω 0 t ) − C k sin ( k ω 0 t ) ] ( 3 ) x\left( t \right) =a_0+2\sum_{k=1}^{+\infty}{\left[ B_k\cos \left( k\omega _0t \right) -C_k\sin \left( k\omega _0t \right) \right]}\,\,\,\left( 3 \right)
x(t)=a
0
+2
k=1
∑
+∞
[B
k
cos(kω
0
t)−C
k
sin(kω
0
t)](3)
对于周期函数，(1)式即为傅里叶级数的复指数形式；(2)式为傅里叶级数的三角形式(极坐标下)；(3)式为傅里叶级数的三角形式(笛卡尔坐标下)。一般地，若信号能展开为傅里叶级数，其表示形式必为(1)(2)(3)之一
2.2.2 收敛条件
并非所有周期信号都可以级数展开，即，并非所有信号都可以进行复指数分解。一般而言，满足Dirchlet条件的信号必可进行傅里叶分析，不满足Dirchlet条件的信号没有傅里叶级数形式，但可能有傅里叶变换。
Dirchlet条件
(1)信号绝对可积
(2)在任何有限区间内，信号只有有限个最值
(3)在任何有限区间内，信号只有有限个不连续点，且每个不连续点处都只有有限值
2.2.3 傅里叶系数
若信号满足Dirchlet条件，必能复指数分解为：
x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k ω 0 t x\left( t \right) =\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{a_k}e^{jk\omega _0t}
x(t)=
k=−∞
∑
+∞
a
k
e
jkω
0
t
现在问题在于傅里叶系数 a k a_k a
k
的确定，可以采用以下方式求得：
e − j ( n ω 0 ) t x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j ( k − n ) ω 0 t e^{-j\left( n\omega _0 \right) t}x\left( t \right) =\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{a_k}e^{j\left( k-n \right) \omega _0t}\,\,
e
−j(nω
0
)t
x(t)=
k=−∞
∑
+∞
a
k
e
j(k−n)ω
0
t
两边同时在基波周期内积分：
∫ T e − j ( n ω 0 ) t x ( t ) d t = ∑ k = − ∞ + ∞ ∫ T a k e j ( k − n ) ω 0 t d t ⇒ ∫ T e − j ( n ω 0 ) t x ( t ) d t = ∑ k = − ∞ + ∞ a k ∫ T [ cos ( k − n ) w 0 t + j sin ( k − n ) w 0 t ] d t \int_T{e^{-j\left( n\omega _0 \right) t}x\left( t \right)}dt=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{\int_T{a_ke^{j\left( k-n \right) \omega _0t}dt}}\,\,\\\Rightarrow \int_T{e^{-j\left( n\omega _0 \right) t}x\left( t \right)}dt=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{a_k\int_T{\left[ \cos \left( k-n \right) w_0t+j\sin \left( k-n \right) w_0t \right] dt}}\,\,
∫
T
e
−j(nω
0
)t
x(t)dt=
k=−∞
∑
+∞
∫
T
a
k
e
j(k−n)ω
0
t
dt
⇒∫
T
e
−j(nω
0
)t
x(t)dt=
k=−∞
∑
+∞
a
k
∫
T
[cos(k−n)w
0
t+jsin(k−n)w
0
t]dt
2.1节说过，谐波复指数集共同周期是基波周期，而三角函数一个周期内积分为0，在这里 T = ∣ k − n ∣ T k T=|k-n|T_k T=∣k−n∣T
k
，因此等式左边在 k ≠ n k\ne n k
=n时为0， k = n k=n k=n时为 T T T，即：
∫ T e − j ( n ω 0 ) t x ( t ) d t = a n T \int_T{e^{-j\left( n\omega _0 \right) t}x\left( t \right)}dt=a_nT
∫
T
e
−j(nω
0
)t
x(t)dt=a
n
T
由于 k = n k=n k=n，所以改写为：
a k = 1 T ∫ T e − j ( k ω 0 ) t x ( t ) d t ( 4 ) a_k=\frac{1}{T}\int_T{e^{-j\left( k\omega _0 \right) t}x\left( t \right)}dt\,\, \left( 4 \right)
a
k
=
T
1
∫
T
e
−j(kω
0
)t
x(t)dt(4)
此式即为傅里叶系数求解公式。
三、傅里叶变换
3.1 周期矩形脉冲信号
按照(4)式求解其傅里叶系数，得到：
从两个角度审视此式：
(1)视其为关于k kk的函数，即
此时相当于将傅里叶系数等距离地排列在 k k k轴上，因此当 T T T趋于无穷时， ∣ a k ∣ |a_k| ∣a
k
∣趋于0，即非周期信号的傅里叶系数幅度趋于0，正因如此，在幅度频谱中就看不出任何信息，所以对于非周期信号，不能仅关注 a k a_k a
k
(2)视其为包络线的采样
此时，视为：
考虑关于 w w w的函数 f ( w ) = 2 E sin ( ω T 1 ) ω f\left( w \right) =\frac{2E\sin \left( \omega T_1 \right)}{\omega} f(w)=
ω
2Esin(ωT
1
)
， a k T a_kT a
k
T就表示对 f ( w ) f(w) f(w)上 w = k w 0 w=kw_0 w=kw
0
的位置进行采样。显然上面的采样间隔为 w 0 = 2 π / T w_0=2\pi/T w
0
=2π/T，因此随着 T T T不断增大，就出现了图2(a)->©取样变密的现象
重点理解的地方来了！！
注意这里 T T T趋于无穷时， ∣ a k ∣ |a_k| ∣a
k
∣依然趋于0，但可见的是 ∣ a k ∣ T |a_k|T ∣a
k
∣T是有限值(落在 f ( w ) f(w) f(w)上)，因此 ∣ a k ∣ T |a_k|T ∣a
k
∣T的意义就是在 ∣ a k ∣ |a_k| ∣a
k
∣趋于0的情况下，通过T的加权作用，在一个有限的范围内显示出 ∣ a k ∣ |a_k| ∣a
k
∣间的相对大小关系，简言之， ∣ a k ∣ T |a_k|T ∣a
k
∣T把肉眼不可见的非周期信号的傅里叶系数放大到肉眼可见，这其实就是傅里叶变换的引入基础。
3.2 傅里叶变换对
从3.1节知道，傅里叶变换的出发点，就是傅里叶系数的幅度加权与包络采样，因此：
X ( w ) ∣ w = k w 0 = a k T X\left( w \right) \mid_{w=kw_0}^{}=a_kT
X(w)∣
w=kw
0
=a
k
T
从而，
X ( w ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j w t d t ( 5 ) X\left( w \right) =\int\limits_{-\infty}^{+\infty}{x\left( t \right) e^{-jwt}}dt\,\, \left( 5 \right)
X(w)=
−∞
∫
+∞
x(t)e
−jwt
dt(5)
代入 x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k ω 0 t x\left( t \right) =\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{a_k}e^{jk\omega _0t} x(t)=∑
k=−∞
+∞
a
k
e
jkω
0
t
中即得：
x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ X ( w ) e j w t d w ( 6 ) x\left( t \right) =\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}{X\left( w \right) e^{jwt}}dw\,\, \left( 6 \right)
x(t)=
2π
1
−∞
∫
+∞
X(w)e
jwt
dw(6)
(5)(6)式合称为一对傅里叶变换对，(5)式称为傅里叶变换积分
四、傅里叶级数与傅里叶变换的联系
4.1 信号三参数
这里定义信号的三参数为幅度、初相、频率(或角频率)，在傅里叶分析中，只要确定组成信号的所有复指数信号的三参数，就可以完全表征。无论是傅里叶级数还是傅里叶变换，事实上都是在求一个包含三参数的表达式来表示一个信号。
在傅里叶级数展开中，傅里叶系数表示了在频率 w = k w 0 w=kw_0 w=kw
0
时复指数信号的幅度和相位；在傅里叶变换中，傅里叶积分 X ( w ) X(w) X(w)表示了全频率复指数信号的三参数信息——可以认为是公式化的频谱
具体来说，列于下表：
事实上，不应该以信号的周期与否来割裂傅里叶变换与傅里叶级数。换言之，周期信号与非周期信号都有相应的傅里叶变换和傅里叶系数，只不过周期信号的傅里叶变换为冲激函数的线性组合，非周期信号的傅里叶系数趋于0，但有相对大小。
4.2 几何直观
几何直观上，傅里叶变换是连续函数，因为其对象是全频率；傅里叶级数是离散的，因为其对象是采样的部分频率。
