文章目录
一、常系数线性齐次递推方程
二、常系数、线性、齐次 概念说明
三、常系数线性齐次递推方程公式解法
四、常系数线性齐次递推方程公式解法内容概要
一、常系数线性齐次递推方程
常系数线性齐次递推方程 :
{ H ( n ) − a 1 H ( n − 1 ) − a 2 H ( n − 2 ) − ⋯ − a k H ( n − k ) = 0 H ( 0 ) = b 0 , H ( 1 ) = b 1 , H ( 2 ) = b 2 , ⋯ , H ( k ) = b k
⎧⎩⎨H(n)−a1H(n−1)−a2H(n−2)−⋯−akH(n−k)=0H(0)=b0,H(1)=b1,H(2)=b2,⋯,H(k)=bk
{H(n)−a1H(n−1)−a2H(n−2)−⋯−akH(n−k)=0H(0)=b0,H(1)=b1,H(2)=b2,⋯,H(k)=bk
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
H(n)−a
1
H(n−1)−a
2
H(n−2)−⋯−a
k
H(n−k)=0
H(0)=b
0
,H(1)=b
1
,H(2)=b
2
,⋯,H(k)=b
k
常系数 是指数列的 项之前的 系数 a 1 , a 2 , ⋯ , a k a_1 , a_2 , \cdots , a_ka
1
,a
2
,⋯,a
k
都是常数 , a k ≠ 0 a_k \not=0a
k
=0 ;
齐次 指的是将数列项移动到左边 , 右边项等于 0 00 ;
上述称为 k kk 阶 常系数线性齐次递推方程 ;
b 0 , b 1 , b 2 , ⋯ , b k b_0 , b_1, b_2 , \cdots , b_kb
0
,b
1
,b
2
,⋯,b
k
是 递推方程的 k kk 个初值 ;
二、常系数、线性、齐次 概念说明
常系数、线性、齐次 概念说明 :
1 . 常系数概念 : 常系数指的是 T ( n ) , T ( n − 1 ) T(n) , T(n-1)T(n),T(n−1) 这些 项之前的系数 , 都是常数 , 如 2 T ( n − 1 ) 2 T(n-1)2T(n−1) , T ( n − 1 ) T(n-1)T(n−1) 项前的系数是 常数 2 22 ;
之前栗子中介绍过的递推方程 , 如
汉诺塔递推方程 T ( n ) = 2 T ( n − 1 ) + 1 T(n) =2 T(n-1) + 1T(n)=2T(n−1)+1
插入排序递推方程 W ( n ) = W ( n − 1 ) + n − 1 W(n) = W(n-1) + n-1W(n)=W(n−1)+n−1
都是 常系数线性递推方程 , 不是齐次的 ;
2 . 线性概念 : 第 n nn 项是前面若干项 n − 1 n-1n−1 的 线性组合 , 没有指数等关系 , 因此成为线性 ;
3 . 齐次概念 : 在 T ( n ) T(n)T(n) 项之外没有其它元素 , 只有项 , 上述 T ( n ) = 2 T ( n − 1 ) + 1 T(n) =2 T(n-1) + 1T(n)=2T(n−1)+1 在项之外还有一个常数 1 11 , 该递推方程就不是齐次的 ; 如果改成 T ( n ) = 2 T ( n − 1 ) T(n) =2 T(n-1)T(n)=2T(n−1) , 该递推方程就是齐次的 ;
三、常系数线性齐次递推方程公式解法
1 . 特征根、通解、特解
特征根 : 根据原始的 递推方程 , 求出 特征根 ;
通解 : 利用 特征根 , 写出 通解 ;
特解 : 根据 通解 , 代入递推方程初值 , 获取针对这些初值的 特解 , 即针对该数列的解 ,
2 . 通解与特解的关系 :
递推方程与初值 : 递推方程的依赖关系 , 递推方程表达的不止一个数列 , 递推方程是 表达具有相同依赖关系的无穷数列 , 不同的递推方程初值 , 对应着不同的数列 , 递推方程 和 初值才能唯一确定一个数列 ;
递推方程、通解关系 : 通解 实际上是对递推方程 对应的 无穷数列 的共有的解 , 并 不能唯一确定一个数列 ;
特解、数列关系 : 通解的一些待定系数 , 要由初值确定 , 通解代入初值 , 得到的 特解 , 才能唯一确定给定数列 ;
四、常系数线性齐次递推方程公式解法内容概要
递推方程公式解法内容概要 :
特征方程与特征根
递推方程的解与特征根关系
解的线性性质
无重根下通解结构
有重根下通解结构
