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一、递推方程标准型及通解
二、递推方程通解证明
一、递推方程标准型及通解
H ( n ) − a 1 H ( n − 1 ) − ⋯ − a k H ( n − k ) = f ( n ) H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)H(n)−a
1
H(n−1)−⋯−a
k
H(n−k)=f(n) , n ≥ k , a k ≠ 0 , f ( n ) ≠ 0 n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0n≥k,a
k
=0,f(n)
=0
上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是 0 00 , 而是一个基于 n nn 的 函数 f ( n ) f(n)f(n) , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;
则上述递推方程的通解如下 :
H ( n ) ‾ \overline{H(n)}
H(n)
是上述递推方程对应 “常系数线性齐次递推方程” H ( n ) − a 1 H ( n − 1 ) − ⋯ − a k H ( n − k ) = 0 H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = 0H(n)−a
1
H(n−1)−⋯−a
k
H(n−k)=0 的通解 ,
H ∗ ( n ) H^*(n)H
∗
(n) 是一个特解 ,
“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是 H ( n ) = H ( n ) ‾ + H ∗ ( n ) H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n)H(n)=
H(n)
+H
∗
(n)
“常系数线性非齐次递推方程” 是 “常系数线性齐次递推方程” 的 齐次通解 , 加上一个 特解 ;
常系数线性非齐次递推方程 : H ( n ) − a 1 H ( n − 1 ) − ⋯ − a k H ( n − k ) = f ( n ) H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)H(n)−a
1
H(n−1)−⋯−a
k
H(n−k)=f(n)
常系数线性齐次递推方程 : H ( n ) − a 1 H ( n − 1 ) − ⋯ − a k H ( n − k ) = 0 \ \ \ \, H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = 0 H(n)−a
1
H(n−1)−⋯−a
k
H(n−k)=0
H ∗ ( n ) H^*(n)H
∗
(n) 特解 , 是一个能使得方程左右相等的特定函数 ,
将 H ( n ) = H ( n ) ‾ + H ∗ ( n ) H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n)H(n)=
H(n)
+H
∗
(n) 通解 代入到 H ( n ) − a 1 H ( n − 1 ) − ⋯ − a k H ( n − k ) = f ( n ) H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)H(n)−a
1
H(n−1)−⋯−a
k
H(n−k)=f(n) 的左部 ,
将带 上划线 的 H ( n ) ‾ \overline{H(n)}
H(n)
项合并 , 一定为 0 00 ,
将带 ∗ *∗ 星号 的 H ∗ ( n ) H^*(n)H
∗
(n) 项合并 , 一定为 f ( n ) f(n)f(n) ,
0 + f ( n ) 0 + f(n)0+f(n) 最终结果还是 f ( n ) f(n)f(n) , 与右侧的 f ( n ) f(n)f(n) 相等 ;
递推方程的任何一个解 , 都是一个 齐次通解 , 加上 一个特解 的格式 ;
二、递推方程通解证明
证明 : 递推方程的通解 , 一定 是一个 齐次通解 , 加上 一个特解 的格式 ;
递推方程 : H ( n ) − a 1 H ( n − 1 ) − ⋯ − a k H ( n − k ) = f ( n ) H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n)H(n)−a
1
H(n−1)−⋯−a
k
H(n−k)=f(n) , n ≥ k , a k ≠ 0 , f ( n ) ≠ 0 n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0n≥k,a
k
=0,f(n)
=0
假设 h ( n ) h(n)h(n) 是递推方程的通解 , 证明该 h ( n ) h(n)h(n) 是一个 齐次通解 , 加上 一个特解 之和 ;
将 h ( n ) h(n)h(n) 代入上述递推方程中 ,
① h ( n ) − a 1 h ( n − 1 ) − ⋯ − a k h ( n − k ) = f ( n ) h(n) - a_1h(n-1) - \cdots - a_kh(n-k) = f(n)h(n)−a
1
h(n−1)−⋯−a
k
h(n−k)=f(n)
特解 H ∗ ( n ) H^*(n)H
∗
(n) 也是递推方程的解 , 将 H ∗ ( n ) H^*(n)H
∗
(n) 代入递推方程 , 左右也是相等的 ,
② H ∗ ( n ) − a 1 H ∗ ( n − 1 ) − ⋯ − a k H ∗ ( n − k ) = f ( n ) H^*(n) - a_1H^*(n-1) - \cdots - a_kH^*(n-k) = f(n)H
∗
(n)−a
1
H
∗
(n−1)−⋯−a
k
H
∗
(n−k)=f(n)
将上述 ① ② 两个等式的 左部与左部相减 , 右部与右部相减 ,
( h ( n ) − a 1 h ( n − 1 ) − ⋯ − a k h ( n − k ) ) ( h(n) - a_1h(n-1) - \cdots - a_kh(n-k) )(h(n)−a
1
h(n−1)−⋯−a
k
h(n−k)) − -− ( H ∗ ( n ) − a 1 H ∗ ( n − 1 ) − ⋯ − a k H ∗ ( n − k ) ) ( H^*(n) - a_1H^*(n-1) - \cdots - a_kH^*(n-k) )(H
∗
(n)−a
1
H
∗
(n−1)−⋯−a
k
H
∗
(n−k)) = 0 =0=0
合并上式中的项 :
[ h ( n ) − H ∗ ( n ) ] − a 1 [ h ( n − 1 ) − H ∗ ( n − 1 ) ] − ⋯ − a k [ h ( n − k ) − H ∗ ( n − k ) ] = 0 [ h(n) - H^*(n) ] - a_1[ h(n-1) - H^*(n-1) ] - \cdots - a_k[ h(n-k) - H^*(n-k) ] = 0[h(n)−H
∗
(n)]−a
1
[h(n−1)−H
∗
(n−1)]−⋯−a
k
[h(n−k)−H
∗
(n−k)]=0
上述方程是齐次方程 , h ( n ) − H ∗ ( n ) h(n) - H^*(n)h(n)−H
∗
(n) 是齐次方程的通解 ,
那么 h ( n ) h(n)h(n) 就是 齐次方程通解 与 特解 H ∗ ( n ) H^*(n)H
∗
(n) 相加 ;
因此 H ( n ) = H ( n ) ‾ + H ∗ ( n ) H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n)H(n)=
H(n)
+H
∗
(n) 格式一定是通解 ;
