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序

印度数学奇才斯里尼瓦瑟· 拉马努金在短短的一生中写下了大量论文，虽然多数文章在生前未得以发表，但借助其中一些文章中的全新见解，数学家肯恩· 小野解开了长久以来悬而未决的神秘数学难题。

拉马努金在1920年去世，时年32岁。他留下了数本笔记，里面有超过3 000条有关数字规律的深刻表述。他的文章（上图）一直启发着数学家们。图片来源：《环球科学》

1984年，一个周六的上午，还在读高中的肯恩·小野（Ken Ono），打开了家中的信箱，信箱中有一封信，宣纸一样薄的信封上贴着色彩绚丽的邮票。信的收件人是他的父亲，一位内敛而谦逊的日裔数学家。当小野把信交给父亲时，正在黄色便签本上演算方程的小野父亲抬起头来，他放下了手中的圆珠笔，轻轻撕开密封条，打开了里面的信件。

起笔为 “亲爱的先生”，“我知道……为纪念我丈夫而建立的雕像，有您的出资捐助……为此我感到很高兴。”署名是“S· 贾纳姬· 安玛尔（S. Janaki Ammal）”，信纸的红色信头表明，她是已故的斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan，数学天才）的遗孀。

这是年幼的小野第一次听说传奇的拉马努金。这是一位来自印度、自学成才的数学奇才，在近一个世纪前，他曾做出一些神秘的断言。他的英国合作者戈弗雷·哈罗德·哈代（Godfrey Harold Hardy）曾写到：这些断言“看起来令人几乎难以置信”。基于拉马努金的工作，一些数学家开创了全新的研究领域，提出了很多重要数学理论，而这些理论已经数次为相关数学家赢得了菲尔兹奖（Fields Medal）——数学界的诺贝尔奖。

拉马努金。图片来源：《环球科学》

现在，小野已经是美国埃默里大学的数论教授了，在成为数学家的学习过程中，他并未过多留意过拉马努金。在他看来，这位“数学奇才”在小野的数论专业研究上并未留下什么全新的见解，小野的研究方向是模形式（modular form）－二维抽象空间对象（abstract two-dimensional object）的超对称。

拉马努金再次进入小野的生活是在1998年，而且这次是彻底地进入，那时小野29岁。在编辑这位天才的研究工作全集时，伊利诺伊大学香槟分校的数学家布鲁斯·C·贝恩特（Bruce C. Berndt）发现了一份被严重忽略的手稿。由于处理的是模形式问题，贝恩特用电子邮件发了一份扫描件给小野，认为小野或许可以帮助解密一些奇怪的断言。

肯恩·小野是美国埃默里大学的数学家。图片来源：《环球科学》

读到手稿的三分之二时，小野停下了。在这份整洁的手稿里，拉马努金写下了6个大胆的数学表述。在小野看来，这几个结论令人匪夷所思，即使它们和小野的专业领域相关。

小野完全惊呆了。他确信这些表述是错误的。“我看着它们说道，‘不可能，这些公式完全没用。’”

他的第一反应是，他要证明拉马努金是错误的。

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重要转折

拉马努金是如何想出那些数学公式的，这一直是个谜。他用一本过时的英文辅导书完成自学。二十几岁时，作为政府职员的同时，拉马努金通过信件向一些英国数学家介绍他的想法。他收到了一份回复，这份回复来自于一位非常有前途的数学教授——哈代，他邀请拉马努金到剑桥和他一起工作。在国外待了仅仅3年后，拉马努金在第一次世界大战的食品匮乏时期病倒了。日渐憔悴的拉马努金回到了印度，于1920年去世，年仅32岁。

除去公开发表的37篇论文之外，拉马努金留下了非常多的、堪比小型书库的文稿，包括部分完成的手稿和3本皮边笔记本。对这些文稿进行查验后，哈代和其他人发现，拉马努金重新发现或证明了一些有关数字规律的经典定理，这些定理的提出是由不同领域的顶尖数学家完成的。同时，拉马努金还注意到了更多未被发现的定理形式。

经过专业训练的数学家深知，要用一系列符合逻辑的论据来严格证明每一项定理，才能让人相信定理的真实性。但拉马努金并不为此所困。他将在脑海中运算出的或者用粉笔演算出的大量定理和运算，写满了一页又一页，并且几乎不会停下来解释他是怎么得出这些结论的。仅是三本笔记本，就记录了超过3000条的关于数字本质的结论。自拉马努金去世，数学家们就一直在努力去证明或者推翻这些结论。

贝恩特自上世纪70年代开始挖掘拉马努金档案文件中的内容。20多年来，他一直致力于此，并发现了那份包含6个引人注目的数学表述的手稿——就是小野试图推翻的那些内容。它们描述了模形式和所谓分拆数（partition number）之间的类比性。

分拆是指将一个正整数表示成不大于其自身的一个或几个正整数的无序和，分拆数则是指不同的分拆方式的数目。分拆数源于分拆函数，同其他函数一样，分拆函数也是表示两个事物之间的对应关系：输入给定的x 便有对应的输出f（x）。分拆函数p（n）的值为，对于给定的整数n，其拆分方式的种类。例如，4的分拆方式有：1+1+1+1、1+1+2、2+2、1+3和4，因此p（4）的值为5。

分拆函数及其对应的分拆数可能看起来很直观，但几个世纪以来，理论学家们一直想努力找到这些数值之间的关联模式，以便能够预知、计算分拆数，或者能够建立分拆数与其他的函数、定理之间的联系。正是拉马努金第一次做出了实质性的突破。他和哈代共同设计了一种可以快速估计分拆数的方法。为了检验这种方法的准确性，他们找到了一位具备出色计算才能的英国退伍炮兵——珀西· 亚历山大·麦克马洪（Percy Alexander Mac-Mahon），请他来徒手计算前200个分拆数。结果证明，拉马努金和哈代的估算值达到了惊人的精确程度。

更重要的是，通过研究麦克马洪得到的数值列表，拉马努金得到了一个非常著名的观察结果。麦克马洪从n=0开始，按每行5个数值的格式来排列p（n）值。拉马努金注意到，每行的最后一个值——即以p（4）开始的第5列的数值，可以被5整除，并且证明这种模式永远成立。这是一个惊人的启示。要知道，分拆是关于累加数的，没有人会想到，分拆数居然会有这一性质。

拉马努金还观察到了更多的类似模式。例如，他证明了，从p（5）开始后数，每第7个分拆数，可被7整除。类似地，从p（6）开始后数，每第11个分拆数可被11整除。令人难以理解的是，“拉马努金同余式”（Ramanujan congruences）到此就终止了。拉马努金在他的一篇写于1919年的文章中写到，“看起来，除去这些素数，不存在具有完全等同性质的其他素数模式”，这里的素数，指的是5、7和11这三个值。

在拉马努金去世后，数学家们想知道，分拆是否有其他的、并非如此简单的性质，并试着去发现它们。直到上世纪90年代末，他们也只是发现了很少的几个同余式，这些同余式表面上看起来是随机的素数和素数幂，包括29、173和236。他们猜想这样的模式是不可预知的，并且非常、非常稀少。

然而，当小野试图深入理解拉马努金文稿中的这6个表述式时，他非常吃惊，因为他意识到，这些猜想可能错得离谱。长期以来，数学家们一直相信，分拆数只和模形式的一小部分子集相关。让小野震惊的是，拉马努金居然用这6个表述式，以一种让人无法预料的、意义深远的方式，将这两个领域联系了起来。

由于拉马努金没有记录下具体的证明过程，小野无法直接确定这位天才的思考过程中的错误。因此他决定，将一些数字代入拉马努金的相关表述公式中，希望这些例子或许可以帮助他找到一些错误。可是，这些公式每次都成立。“不会吧！”小野对自己说到。他意识到，拉马努金肯定是正确的，“因为你不可能那么巧地构造出这样的公式，验证100次都还是正确的，除非你一直就知道这个公式成立的原因。”他闭上眼睛，努力去思考拉马努金理解到的、但其他人并不知晓的内容。

小野知道模形式中包含同余式，这些同余式和拉马努金在分拆数中发现的那几个同余式具有相同的模式。凝视着这6个表述式，小野的脑海中闪现了一个想法。如果将分拆函数看做经过变形的模形式的话，他就可以证明它们是正确的。

紧接着，小野产生了另一个想法。当他意识到这个想法所能带来的意义，禁不住放声大笑：他想到，只需要做一些调整，他发展的关于模形式的理论，就可以成为一个强大的工具——不仅可以验证拉马努金天才般的表述式，并且还能深度揭示分拆函数的秘密。“这就像得到了一副奇特的、全新的望远镜，”小野回忆到，“如果这个宇宙中的星星是分拆数，有了它之后，当你再观测宇宙时，你能看到宇宙中存在非常多的星系（即同余式）”。

用这种方法，小野证明了分拆同余式并不稀少。数学家们原本认为，除了5、7和11之外，只有非常少数的同余式，但事实上，小野发现有无穷多个。

小野的手稿。图片来源：《环球科学》

小野的同行们为这一开创性的发现欢呼雀跃。但小野自己却并不满意。尽管他可以证明分拆同余式是普遍存在的，却不知道如何才能找到它们。如果将分拆数按顺序排列好，你或许能知道同余式是以什么频率出现的。但如果只有一个，你能不能预测出下一个在哪出现呢？对这个问题，小野毫无头绪。

当遇到阻碍时，小野从来不会将问题在脑海中反复地、不断地思索，这样会使得问题变得像一块被过度咀嚼、没有任何弹性的口香糖一样。与此相反，他暂时搁置了分拆同余式的预测问题，而去专注于其他未解问题。

这一问题沉寂了有5年的时间，直到2010年的春天，博士后研究员扎卡里·A·肯特（Zachary A. Kent）来到埃默里大学。有一天，他们在聊天中谈到了这一问题，接着很快就变成了时时刻刻都在讨论该问题，无论是在办公室、咖啡馆，还是在亚特兰大北部的树林中远足时。

一点一点地，他们在脑海中建立起一个可以将分拆数整齐排列的、错综复杂的超级框架。他们能够想到这种结构，是用到了一个数学家称为算子 （operator）的理论工具。利用选定的特殊算子，带入任何素数（如13），选择素数幂（132,133,等），将它们划分为不同的分拆数。难以置信的是，这样得出来的数字居然遵守分形结构——在不同的范围内，它们重复着近乎相同的模式，就像雪花的分支一样。这一结果表明，分拆数并不是一个随机数字序列，附带出现的对称性也并非乱七八糟地散落其间。相反，这些数字具有“美丽的内部结构”，小野说到，这使得分拆同余式能够被预测，而对于研究分拆数的学者，这一领域看起来更加迷人了。

小野、肯特以及来自耶鲁大学的合作者阿曼达·福尔瑟姆（Amanda Folsom），耗费了数月的时间来解决新理论中存在的所有问题。最后，他们终于可以证明，分拆同余式的出现方式是可以通过计算得出的。不过，超过11之后，模式变得更加复杂，这很可能是拉马努金没有算出它们的原因。

2011年，在埃默里大学专门召开的一次研讨会上，小野和合作者们介绍了他们的发现。而后，祝贺的信息潮水般涌入了小野的信箱。“这是一个非常引人注目的、令人惊讶的发现，” 宾夕法尼亚州立大学的分拆学专家乔治·E·安德鲁斯（George E. Andrews）这样说，“我认为即使是拉马努金，做梦也不会想到它。”

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完美的答案

对拉马努金的研究给了小野一些启示，或许有一天这些发现可以应用到数学以外的其他领域。将拉马努金的先见和当代数学融合在一起，小野和同事已经设计出了强大的计算工具。除了对纯数学研究工作的促进作用，这些工具还可以产生更好的计算机数据加密方法以及研究黑洞的方法。

小野和德国多特蒙德科技大学的简·布鲁尼尔（Jan Bruinier）合作，构造了一个能够快速准确地计算巨大分拆数的公式——这是拉马努金没能赢取的“圣杯”。小野将这一计算器称为“神谕”。除了处理分拆数，他说，它还可以用来研究特定种类的椭圆曲线（椭圆曲线是类似面包圈表面的几何图形）。

密码学家利用椭圆曲线创建计算机数据的加密算法。加密算法能够成功，是由于算法产生的数学谜题没有办法被即时破解。例如，一种称为RSA的常用加密算法，要将结果分解为两个大素数乘积，加密能够成功依赖于分解因子的困难性。更新一点的加密方法是利用椭圆曲线上的点集，其对应关系更难辨别。如果“神谕”或者相关研究可以提供更加难以捉摸的关联方式，密码学家可能会使用这方面的知识，发展出更加强大的加密系统。

小野的工作还解开了拉马努金数学遗产中的众多谜题之一。在去世前三个月，由于感冒和疼痛卧床不起的拉马努金，给远在英国的哈代匆忙写完了最后一封信。“我十分抱歉到现在连一封简单的信都未能写给您，”他写到，“我最近发现了十分有趣的函数，我称之为‘模’θ函数……它们和常规θ函数一样优美地进入到数学领域。”

θ函数本质上是模形式。拉马努金猜测，在输入特殊值时，也许能这样描述新函数（模θ函数）：它和模形式毫不相像，但特性类似，这种特殊值称为奇点。靠近这些点时，函数值趋向无穷大。以下面的函数为例，函数f（x）=1/x,它有一个奇点x=0。随着x无限接近0，函数值f（x）渐增至无穷大。模形式具有无穷多的奇点。拉马努金通过直觉猜测，对于每一个这样的函数，存在一个模θ函数使得不仅奇点相同，并且这些点的函数值以几乎同样的速率趋近于无穷。

利用拉马努金去世几十年后形成的一些意见、想法，荷兰数学家桑德·祖格思（Sander Zwegers）终于在2002年正式定义了模θ函数。但对于拉马努金做出的这些函数会在奇点模仿模形式的断言，数学家们始终不能解释。

根据小野和布鲁尼尔发现的“神谕”而建立的强大计算工具，最终解决了这一谜题。同福尔瑟姆和斯坦福大学的罗伯特·罗兹（Robert Rhoades）一起，小野用它计算出，当输入值接近奇点时模θ函数的输出结果。结果证明的确如此，他们发现拉马努金的猜想是正确的：这些输出结果与对应的模形式奇点的输出结果明显相似。例如，在一种情况下，数学家发现，两个输出结果的差值接近4，相对于这个宇宙中的无限数值来说，这个差别小得几乎可以忽略。

最近，物理学家利用模θ函数来研究黑洞的一种性质——熵，这是用来研究封闭系统如何达到能量平衡的完美状态的一种方法。一些科学家相信，和小野的成果类似的公式，能使他们以更高的精度探讨这种现象。

小野告诫大家，我们不应过多地关注其工作成果的潜在应用。像许多理论学家一样，他相信，这些实际应用并不能使他的发现变得伟大。他认为，伟大的发现，应该是与绘画和音乐类似。安德鲁斯十分同意，“小野的定理并不会给我们提供无限的绿色能源，也不能治愈癌症，或者做一些意义伟大的类似事情”。数学发现经常在几十年后，才会在科学技术中扮演应有的重要角色。预测这些数学发现在未来会有什么重要意义，几乎是不可能的；即便可以预测，也是非常困难的。

小野仍然能够回忆起，第一次见到父亲在黄标便签本上写出拉马努金同余式时的愉悦。他记得当时问父亲，“为什么只有3个？”父亲回答说，“没有人知道”。

小野是在他家的餐厅里向我讲述这个故事的。在他身后墙上挂着一幅相框，里面的照片是拉马努金铜像。这座铜像是捐给拉马努金的遗孀的，制作经费来自世界各地数学家和科学家的捐款——小野的父亲捐赠了25美元。“即使在最疯狂的梦境中，我都不曾想到，有一天我能够说，‘爸爸，你知道吗，那些同余式不是仅有这些——绝对不是。’”

原文发布时间为：2016-10-30

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