二叉树基本知识：
一、树的定义
树是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。
树具有的特点有：
（1）每个结点有零个或多个子结点
（2）没有父节点的结点称为根节点
（3）每一个非根结点有且只有一个父节点
（4）除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树。
树的基本术语有：
若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的“双亲”，子树的根称为该结点的“孩子”。有相同双亲的结点互为“兄弟”。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先。
结点的度：结点拥有的子树的数目
叶子结点：度为0的结点
分支结点：度不为0的结点
树的度：树中结点的最大的度
层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1
树的高度：树中结点的最大层次
森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。
二、二叉树
1、二叉树的定义
二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。
2、二叉树的性质
性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为2i-1(i>=1)
性质2：深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k>=1）
性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为(log2n)+1
性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1
3、性质4的证明
性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1
证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，不妨设n0表示度为0的结点个数，n1表示度为1的结点个数，n2表示度为2的结点个数。三类结点加起来为总结点个数，于是便可得到：n=n0+n1+n2 (1)
由度之间的关系可得第二个等式：n=n0*0+n1*1+n2*2+1即n=n1+2n2+1 (2)
将（1）（2）组合在一起可得到n0=n2+1
三、满二叉树、完全二叉树和二叉查找树
1、满二叉树
定义：高度为h，并且由2h-1个结点组成的二叉树，称为满二叉树
2、完全二叉树
定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下层的叶结点集中在靠左的若干位置上，这样的二叉树称为完全二叉树。
特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。
面试题：如果一个完全二叉树的结点总数为768个，求叶子结点的个数。
由二叉树的性质知：n0=n2+1，将之带入768=n0+n1+n2中得：768=n1+2n2+1，因为完全二叉树度为1的结点个数要么为0，要么为1，那么就把n1=0或者1都代入公式中，很容易发现n1=1才符合条件。所以算出来n2=383，所以叶子结点个数n0=n2+1=384。
总结规律：如果一棵完全二叉树的结点总数为n，那么叶子结点等于n/2（当n为偶数时）或者(n+1)/2（当n为奇数时）
3、二叉查找树
定义：二叉查找树又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x结点包含关键字key，结点x的key值计为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y]<=key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y]>=key[x]
在二叉查找树种：
（1）若任意结点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值。
（2）任意结点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。
（3）任意结点的左、右子树也分别为二叉查找树。
（4）没有键值相等的结点。
import java.util.ArrayList; import java.util.List; public class bintree { public bintree left; public bintree right; public bintree root; // 数据域 private Object data; // 存节点 public List<bintree> datas; public bintree(bintree left, bintree right, Object data){ this.left=left; this.right=right; this.data=data; } // 将初始的左右孩子值为空 public bintree(Object data){ this(null,null,data); } public bintree() { } public void creat(Object[] objs){ datas=new ArrayList<bintree>(); // 将一个数组的值依次转换为Node节点 for(Object o:objs){ datas.add(new bintree(o)); } // 第一个数为根节点 root=datas.get(0); // 建立二叉树 for (int i = 0; i <objs.length/2; i++) { // 左孩子 datas.get(i).left=datas.get(i*2+1); // 右孩子 if(i*2+2<datas.size()){//避免偶数的时候 下标越界 datas.get(i).right=datas.get(i*2+2); } } } //先序遍历 public void preorder(bintree root){ if(root!=null){ System.out.println(root.data); preorder(root.left); preorder(root.right); } } //中序遍历 public void inorder(bintree root){ if(root!=null){ inorder(root.left); System.out.println(root.data); inorder(root.right); } } // 后序遍历 public void afterorder(bintree root){ if(root!=null){ System.out.println(root.data); afterorder(root.left); afterorder(root.right); } } public static void main(String[] args) { bintree bintree=new bintree(); Object []a={2,4,5,7,1,6,12,32,51,22}; bintree.creat(a); bintree.preorder(bintree.root); } } 要求：从键盘输入数，存为二叉树结构并打印。
要求：从键盘输入数，存为二叉树结构并打印。
import java.util.Scanner; public class btree { private btree left,right; private char data; public btree creat(String des){ Scanner scanner=new Scanner(System.in); System.out.println("des:"+des); String str=scanner.next(); if(str.charAt(0)<'a')return null; btree root=new btree(); root.data=str.charAt(0); root.left=creat(str.charAt(0)+"左子树"); root.right=creat(str.charAt(0)+"右子树"); return root; } public void midprint(btree btree){ // 中序遍历 if(btree!=null){ midprint(btree.left); System.out.print(btree.data+" "); midprint(btree.right); } } public void firprint(btree btree){ // 先序遍历 if(btree!=null){ System.out.print(btree.data+" "); firprint(btree.left); firprint(btree.right); } } public void lastprint(btree btree){ // 后序遍历 if(btree!=null){ lastprint(btree.left); lastprint(btree.right); System.out.print(btree.data+" "); } } public static void main(String[] args) { btree tree = new btree(); btree newtree=tree.creat("根节点"); tree.firprint(newtree); System.out.println(); tree.midprint(newtree); System.out.println(); tree.lastprint(newtree); } }
输出结果：
des:根节点
a
des:a左子树
e
des:e左子树
c
des:c左子树
1
des:c右子树
1
des:e右子树
b
des:b左子树
1
des:b右子树
1
des:a右子树
d
des:d左子树
f
des:f左子树
1
des:f右子树
1
des:d右子树
1
a e c b d f 先序
c e b a f d 中序
c b e f d a 后序
二叉树的遍历次序：
前序顺序是根节点排最先，然后同级先左后右；中序顺序是先左后根最后右；后序顺序是先左后右最后根。
例如：
比如上图二叉树遍历结果
前序遍历：ABCDEFGHK
中序遍历：BDCAEHGKF
后序遍历：DCBHKGFEA
分析中序遍历如下图，中序比较重要（java很多树排序是基于中序，后面讲解分析）
我是一条，一个在互联网摸爬滚打的程序员。
