数据结构实践——B-树的基本操作

本文是针对[数据结构基础系列(8)：查找]的实践。

【项目 - B-树的基本操作】
实现B-树的基本操作。基于序列{4, 9, 0, 1, 8, 6, 3, 5, 2, 7}完成测试。
（1）创建对应的3阶B-树b，用括号法输出b树。
（2）从b中分别删除关键字为8和1的节点，用括号法输出删除节点后的b树。
[参考解答]

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#define MAXM 10                     //定义B-树的最大的阶数
typedef int KeyType;                //KeyType为关键字类型
typedef struct node                 //B-树结点类型定义
{
    int keynum;                     //结点当前拥有的关键字的个数
    KeyType key[MAXM];              //key[1..keynum]存放关键字,key[0]不用
    struct node *parent;            //双亲结点指针
    struct node *ptr[MAXM];         //孩子结点指针数组ptr[0..keynum]
} BTNode;
typedef struct                      //B-树的查找结果类型
{
    BTNode *pt;                     //指向找到的结点
    int i;                          //1..m,在结点中的关键字序号
    int tag;                        //1:查找成功,O:查找失败
}  Result;
int m;                              //m阶B-树,为全局变量
int Max;                            //m阶B-树中每个结点的至多关键字个数,Max=m-1
int Min;                            //m阶B-树中非叶子结点的至少关键字个数,Min=(m-1)/2
int Search(BTNode *p,KeyType k)
{
    //在p->key[1..keynum]中查找i,使得p->key[i]<=k<p->key[i+1]
    int i=0;
    for(i=0; i<p->keynum && p->key[i+1]<=k; i++);
    return i;
}
Result SearchBTree(BTNode *t,KeyType k)
{
    /*在m阶t树t上查找关键字k,返回结果(pt,i,tag)。若查找成功,则特征值
     tag=1,指针pt所指结点中第i个关键字等于k；否则特征值tag=0,等于k的
     关键字应插入在指针Pt所指结点中第i和第i+1个关键字之间*/
    BTNode *p=t,*q=NULL; //初始化,p指向待查结点,q指向p的双亲
    int found=0,i=0;
    Result r;
    while (p!=NULL && found==0)
    {
        i=Search(p,k);              //在p->key[1..keynum]中查找i,使得p->key[i]<=k<p->key[i+1]
        if (i>0 && p->key[i]==k)    //找到待查关键字
            found=1;
        else
        {
            q=p;
            p=p->ptr[i];
        }
    }
    r.i=i;
    if (found==1)                   //查找成功
    {
        r.pt=p;
        r.tag=1;
    }
    else                            //查找不成功,返回K的插入位置信息
    {
        r.pt=q;
        r.tag=0;
    }
    return r;                       //返回k的位置(或插入位置)
}
void Insert(BTNode *&q,int i,KeyType x,BTNode *ap)
{
    //将x和ap分别插入到q->key[i+1]和q->ptr[i+1]中
    int j;
    for(j=q->keynum; j>i; j--)  //空出一个位置
    {
        q->key[j+1]=q->key[j];
        q->ptr[j+1]=q->ptr[j];
    }
    q->key[i+1]=x;
    q->ptr[i+1]=ap;
    if (ap!=NULL) ap->parent=q;
    q->keynum++;
}
void Split(BTNode *&q,BTNode *&ap)
{
    //将结点q分裂成两个结点,前一半保留,后一半移入新生结点ap
    int i,s=(m+1)/2;
    ap=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode));    //生成新结点*ap
    ap->ptr[0]=q->ptr[s];                   //后一半移入ap
    for (i=s+1; i<=m; i++)
    {
        ap->key[i-s]=q->key[i];
        ap->ptr[i-s]=q->ptr[i];
        if (ap->ptr[i-s]!=NULL)
            ap->ptr[i-s]->parent=ap;
    }
    ap->keynum=q->keynum-s;
    ap->parent=q->parent;
    for (i=0; i<=q->keynum-s; i++) //修改指向双亲结点的指针
        if (ap->ptr[i]!=NULL) ap->ptr[i]->parent = ap;
    q->keynum=s-1;                      //q的前一半保留,修改keynum
}
void NewRoot(BTNode *&t,BTNode *p,KeyType x,BTNode *ap)
{
    //生成含信息(T,x,ap)的新的根结点*t,原t和ap为子树指针
    t=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode));
    t->keynum=1;
    t->ptr[0]=p;
    t->ptr[1]=ap;
    t->key[1]=x;
    if (p!=NULL) p->parent=t;
    if (ap!=NULL) ap->parent=t;
    t->parent=NULL;
}
void InsertBTree(BTNode *&t, KeyType k, BTNode *q, int i)
{
    /*在m阶t树t上结点*q的key[i]与key[i+1]之间插入关键字k。若引起
     结点过大,则沿双亲链进行必要的结点分裂调整,使t仍是m阶t树。*/
    BTNode *ap;
    int finished,needNewRoot,s;
    KeyType x;
    if (q==NULL)                        //t是空树(参数q初值为NULL)
        NewRoot(t,NULL,k,NULL);         //生成仅含关键字k的根结点*t
    else
    {
        x=k;
        ap=NULL;
        finished=needNewRoot=0;
        while (needNewRoot==0 && finished==0)
        {
            Insert(q,i,x,ap);               //将x和ap分别插入到q->key[i+1]和q->ptr[i+1]
            if (q->keynum<=Max) finished=1; //插入完成
            else
            {
                //分裂结点*q,将q->key[s+1..m],q->ptr[s..m]和q->recptr[s+1..m]移入新结点*ap
                s=(m+1)/2;
                Split(q,ap);
                x=q->key[s];
                if (q->parent)              //在双亲结点*q中查找x的插入位置
                {
                    q=q->parent;
                    i=Search(q, x);
                }
                else needNewRoot=1;
            }
        }
        if (needNewRoot==1)                 //根结点已分裂为结点*q和*ap
            NewRoot(t,q,x,ap);              //生成新根结点*t,q和ap为子树指针
    }
}
void DispBTree(BTNode *t)   //以括号表示法输出B-树
{
    int i;
    if (t!=NULL)
    {
        printf("[");            //输出当前结点关键字
        for (i=1; i<t->keynum; i++)
            printf("%d ",t->key[i]);
        printf("%d",t->key[i]);
        printf("]");
        if (t->keynum>0)
        {
            if (t->ptr[0]!=0) printf("(");  //至少有一个子树时输出"("号
            for (i=0; i<t->keynum; i++)     //对每个子树进行递归调用
            {
                DispBTree(t->ptr[i]);
                if (t->ptr[i+1]!=NULL) printf(",");
            }
            DispBTree(t->ptr[t->keynum]);
            if (t->ptr[0]!=0) printf(")");  //至少有一个子树时输出")"号
        }
    }
}
void Remove(BTNode *p,int i)
//从*p结点删除key[i]和它的孩子指针ptr[i]
{
    int j;
    for (j=i+1; j<=p->keynum; j++)      //前移删除key[i]和ptr[i]
    {
        p->key[j-1]=p->key[j];
        p->ptr[j-1]=p->ptr[j];
    }
    p->keynum--;
}
void Successor(BTNode *p,int i)
//查找被删关键字p->key[i](在非叶子结点中)的替代叶子结点
{
    BTNode *q;
    for (q=p->ptr[i]; q->ptr[0]!=NULL; q=q->ptr[0]);
    p->key[i]=q->key[1];    //复制关键字值
}
void MoveRight(BTNode *p,int i)
//把一个关键字移动到右兄弟中
{
    int c;
    BTNode *t=p->ptr[i];
    for (c=t->keynum; c>0; c--) //将右兄弟中所有关键字移动一位
    {
        t->key[c+1]=t->key[c];
        t->ptr[c+1]=t->ptr[c];
    }
    t->ptr[1]=t->ptr[0];        //从双亲结点移动关键字到右兄弟中
    t->keynum++;
    t->key[1]=p->key[i];
    t=p->ptr[i-1];              //将左兄弟中最后一个关键字移动到双亲结点中
    p->key[i]=t->key[t->keynum];
    p->ptr[i]->ptr[0]=t->ptr[t->keynum];
    t->keynum--;
}
void MoveLeft(BTNode *p,int i)
//把一个关键字移动到左兄弟中
{
    int c;
    BTNode *t;
    t=p->ptr[i-1];              //把双亲结点中的关键字移动到左兄弟中
    t->keynum++;
    t->key[t->keynum]=p->key[i];
    t->ptr[t->keynum]=p->ptr[i]->ptr[0];

    t=p->ptr[i];                //把右兄弟中的关键字移动到双亲兄弟中
    p->key[i]=t->key[1];
    p->ptr[0]=t->ptr[1];
    t->keynum--;
    for (c=1; c<=t->keynum; c++)    //将右兄弟中所有关键字移动一位
    {
        t->key[c]=t->key[c+1];
        t->ptr[c]=t->ptr[c+1];
    }
}
void Combine(BTNode *p,int i)
//将三个结点合并到一个结点中
{
    int c;
    BTNode *q=p->ptr[i];            //指向右结点,它将被置空和删除
    BTNode *l=p->ptr[i-1];
    l->keynum++;                    //l指向左结点
    l->key[l->keynum]=p->key[i];
    l->ptr[l->keynum]=q->ptr[0];
    for (c=1; c<=q->keynum; c++)        //插入右结点中的所有关键字
    {
        l->keynum++;
        l->key[l->keynum]=q->key[c];
        l->ptr[l->keynum]=q->ptr[c];
    }
    for (c=i; c<p->keynum; c++)     //删除父结点所有的关键字
    {
        p->key[c]=p->key[c+1];
        p->ptr[c]=p->ptr[c+1];
    }
    p->keynum--;
    free(q);                        //释放空右结点的空间
}
void Restore(BTNode *p,int i)
//关键字删除后,调整B-树,找到一个关键字将其插入到p->ptr[i]中
{
    if (i==0)                           //为最左边关键字的情况
        if (p->ptr[1]->keynum>Min)
            MoveLeft(p,1);
        else
            Combine(p,1);
    else if (i==p->keynum)              //为最右边关键字的情况
        if (p->ptr[i-1]->keynum>Min)
            MoveRight(p,i);
        else
            Combine(p,i);
    else if (p->ptr[i-1]->keynum>Min)   //为其他情况
        MoveRight(p,i);
    else if (p->ptr[i+1]->keynum>Min)
        MoveLeft(p,i+1);
    else
        Combine(p,i);
}
int SearchNode(KeyType k,BTNode *p,int &i)
//在结点p中找关键字为k的位置i,成功时返回1,否则返回0
{
    if (k<p->key[1])    //k小于*p结点的最小关键字时返回0
    {
        i=0;
        return 0;
    }
    else                //在*p结点中查找
    {
        i=p->keynum;
        while (k<p->key[i] && i>1)
            i--;
        return(k==p->key[i]);
    }
}
int RecDelete(KeyType k,BTNode *p)
//查找并删除关键字k
{
    int i;
    int found;
    if (p==NULL)
        return 0;
    else
    {
        if ((found=SearchNode(k,p,i))==1)       //查找关键字k
        {
            if (p->ptr[i-1]!=NULL)              //若为非叶子结点
            {
                Successor(p,i);                 //由其后继代替它
                RecDelete(p->key[i],p->ptr[i]); //p->key[i]在叶子结点中
            }
            else
                Remove(p,i);                    //从*p结点中位置i处删除关键字
        }
        else
            found=RecDelete(k,p->ptr[i]);       //沿孩子结点递归查找并删除关键字k
        if (p->ptr[i]!=NULL)
            if (p->ptr[i]->keynum<Min)          //删除后关键字个数小于MIN
                Restore(p,i);
        return found;
    }
}
void DeleteBTree(KeyType k,BTNode *&root)
//从B-树root中删除关键字k,若在一个结点中删除指定的关键字,不再有其他关键字,则删除该结点
{
    BTNode *p;              //用于释放一个空的root
    if (RecDelete(k,root)==0)
        printf("   关键字%d不在B-树中\n",k);
    else if (root->keynum==0)
    {
        p=root;
        root=root->ptr[0];
        free(p);
    }
}
int main()
{
    BTNode *t=NULL;
    Result s;
    int j,n=10;
    KeyType a[]= {4,9,0,1,8,6,3,5,2,7},k;
    m=3;                                //3阶B-树
    Max=m-1;
    Min=(m-1)/2;
    printf("创建一棵%d阶B-树:\n",m);
    for (j=0; j<n; j++)                 //创建一棵3阶B-树t
    {
        s=SearchBTree(t,a[j]);
        if (s.tag==0)
            InsertBTree(t,a[j],s.pt,s.i);
        printf("   第%d步,插入%d: ",j+1,a[j]);
        DispBTree(t);
        printf("\n");
    }
    printf("  结果B-树: ");
    DispBTree(t);
    printf("\n");
    printf("删除操作:\n");
    k=8;
    DeleteBTree(k,t);
    printf("  删除%d: ",k);
    printf("B-树: ");
    DispBTree(t);
    printf("\n");
    k=1;
    DeleteBTree(k,t);
    printf("  删除%d: ",k);
    printf("B-树: ");
    DispBTree(t);
    printf("\n");
    return 0;
}