Neural Networks: Learning
内容较多，故分成上下两篇文章。

一、内容概要

• Cost Function and Backpropagation

  • Cost Function
  • Backpropagation Algorithm
  • Backpropagation Intuition

• Backpropagation in Practice

  • Implementation Note：Unroll Parameters
  • Gradient Checking
  • Random Initialization
  • Putting it Together

• Application of Neural Networks

  • Autonomous Driving

二、重点&难点

1.Cost Function and Backpropagation

1） Cost Function

首先定义一下后面会提到的变量

L: 神经网络总层数
S_l：l层单元个数（不包括bias unit）
k:输出层个数

回顾正则化逻辑回归中的损失函数：

\[J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m [ y^{(i)}\ \log (h_\theta (x^{(i)})) + (1 - y^{(i)})\ \log (1 - h_\theta(x^{(i)}))] + \frac{\lambda}{2m}\sum_{j=1}^n \theta_j^2\]

在神经网络中损失函数略微复杂了些,但是也比较好理解，就是把所有层都算进去了。
\[ \begin{gather*} J(\Theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^K \left[y^{(i)}_k \log ((h_\Theta (x^{(i)}))_k) + (1 - y^{(i)}_k)\log (1 - (h_\Theta(x^{(i)}))_k)\right] + \frac{\lambda}{2m}\sum_{l=1}^{L-1} \sum_{i=1}^{s_l} \sum_{j=1}^{s_{l+1}} ( \Theta_{j,i}^{(l)})^2\end{gather*} \]

2）BackPropagation反向传播

更详细的公式推导可以参考http://ufldl.stanford.edu--反向传导算法

下面给出我自己对BP算法的理解以及ufldl上的推导：

假设神经网络结构如下

- 1. FP

1. 利用前向传导公式(FP)计算\(2,3……\) 直到 \({n_l}\)层（输出层）的激活值。
   计算过程如下：

- 2. BP

• 权值更新

首先需要知道的是BP算法是干嘛的？它是用来让神经网络自动更新权重\(W\)的。
这里权重\(W\)与之前线性回归权值更新形式上是一样：

那现在要做的工作就是求出后面的偏导，在求之前进一步变形：

注意\(J(W,b;x^{(i)},y^{(i)})\)表示的是单个样例的代价函数，而\(J(W,b)\)表示的是整体的代价函数。

所以接下来的工作就是求出\(\frac{∂J(W,b;x,y)}{∂W_{ij^{(l)}}}\)，求解这个需要用到微积分中的链式法则，即

\[ \begin{align*} \frac{∂J(W,b;x,y)}{∂W_{ij^{(l)}}} = \frac{∂J(W,b;x,y)}{∂a_{i^{(l)}}} \frac{∂a_{i^{(l)}}}{∂z_{i^{(l)}}} \frac{∂z_{i^{(l)}}}{∂w_{ij^{(l)}}} = a_j^{(l)}δ_i^{(l+1)} \end{align*} \]

更加详细运算过程可以参考[一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation],这篇文章详细的介绍了BP算法的每一步骤。

上面的公式中出现了\(δ\)（误差error），所以后续的目的就是求出每层每个node的\(δ\)，具体过程如下：

• 计算δ

对于第 \(n_l\)层（输出层）的每个输出单元\(i\)，我们根据以下公式计算残差：

对 \(l = n_l-1, n_l-2, ……,3,2\)的各个层，第 \(l\) 层的第 \(i\) 个节点的残差计算方法如下：

将上面的结果带入权值更新的表达式中便可顺利的执行BackPropagation啦~~~

但是！！！需要注意的是上面式子中反复出现的 \(f '(z_i^{(l)})\) ，表示激活函数的导数。这个在刚开始的确困惑到我了，因为视频里老师在演示计算\(δ\)的时候根本就乘以这一项，难道老师错了？其实不是的，解释如下：
常用的激活函数有好几种，但使用是分情况的：

• 在线性情况下：f(z) = z
• 在非线性情况下：(只举一些我知道的例子)
  • sigmoid
  • tanh
  • relu

所以这就是为什么老师在视频中没有乘以 \(f '(z_i^{(l)})\) 的原因了，就是因为是线性的，求导后为1，直接省略了。

另外sigmoid函数表达式为\(f(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}\),很容易知道\(f'(z)=\frac{-e^{-z}}{ (1+e^{-z}) ^2 } = f(z)·(1-f(z))\)这也就解释了Coursera网站上讲义的公式是这样的了：

所以现在总结一下BP算法步骤：

1. 进行前馈传导计算，利用前向传导公式，得到\(L_2, L_3, \ldots\)直到输出层 \(\textstyle L_{n_l}\)的激活值。
2. 对输出层（第 \(\textstyle n_l\)层），计算：
   \(\delta^{(n_l)}= - (y - a^{(n_l)}) \bullet f'(z^{(n_l)})\)
3. 对于 \(\textstyle l = n_l-1, n_l-2, n_l-3, \ldots, 2\) 的各层，计算：
   \(\delta^{(l)} = \left((W^{(l)})^T \delta^{(l+1)}\right) \bullet f'(z^{(l)})\)
4. 计算最终需要的偏导数值：
   \[ \begin{align} \nabla_{W^{(l)}} J(W,b;x,y) &= \delta^{(l+1)} (a^{(l)})^T, \\ \nabla_{b^{(l)}} J(W,b;x,y) &= \delta^{(l+1)}. \end{align} \]

使用批量梯度下降一次迭代过程：

1. 对于所有\(\textstyle l\)，令 \(\textstyle \Delta W^{(l)} := 0 , \textstyle \Delta b^{(l)} := 0\) （设置为全零矩阵或全零向量）
2. 对于\(\textstyle i = 1\) 到\(\textstyle m\) ，
   使用反向传播算法计算\(\textstyle \nabla_{W^{(l)}} J(W,b;x,y)\) 和\(\textstyle \nabla_{b^{(l)}} J(W,b;x,y)\) 。
   计算\(\textstyle \Delta W^{(l)} := \Delta W^{(l)} + \nabla_{W^{(l)}} J(W,b;x,y)\) 。
   计算\(\textstyle \Delta b^{(l)} := \Delta b^{(l)} + \nabla_{b^{(l)}} J(W,b;x,y)\) 。
3. 更新权重参数：
   \[ \begin{align} W^{(l)} &= W^{(l)} - \alpha \left[ \left(\frac{1}{m} \Delta W^{(l)} \right) + \lambda W^{(l)}\right] \\ b^{(l)} &= b^{(l)} - \alpha \left[\frac{1}{m} \Delta b^{(l)}\right] \end{align} \]

3) Backpropagation Intuition

本小节演示了具体如何操作BP，不再赘述。

具体可参考Coursera讲义。

MARSGGBO原创





2017-8-3