「机器学习」线性回归

Machine Learning-Linear Regression

线性回归基本推导过程

• 基本的含义：一个样本，具有一个或者多个特征x（变量），一个预测值y（标签），研究x与y之间的线性关系。

例如下表中：根据工资以及年龄（特征），预测用户的贷款额度（标签）

需要构造:

$$ y_{predict} = \theta_0x_0+ \theta_1x_1+\theta_2x_2\tag{1}=\theta^Tx $$

注：其中$x_0$值为1，代表常数项

使得对于对于任意i样本 $y^{(i)}_{predict}$ 与真实值$y^{(i)}$之间的误差越小越好,用数学表示，即：

$$ y^{(i)}_i = y^{(i)}_{predict} + \epsilon^{(i)}\tag{2} $$

需要假设误差项$ \epsilon^{(i)}$要符合标准正态分布,即满足期望是0，方差是$σ^2$
即：

$$ p(\epsilon^{(i)})= {1\over\sqrt{2\pi}\sigma}exp{(-{(\epsilon^{(i)})^2\over 2\sigma^2})}\tag{3} $$

将(1)式带入(2)式，再带入(3)式，对于任意i样本似然函数如下：

$$ L(\theta)_i= p(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)=p(\epsilon^{(i)})= {1\over\sqrt{2\pi}\sigma}exp{(-{(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2\over 2\sigma^2})} $$

解释：
似然函数是一种关于统计模型参数的函数。
给定输出y以及x时,参数$\theta$的概率「似然函数L(θ|y,x)」(在数值上)等于给定参数$\theta$的以及x后变量y的概率：L(θ|y,x)」=P(y|θ,x),我们希望似然函数越大越好，即预测值成为真实值的可能性越大。

对于m个样本而言，最大似然函数即为：

$$ L(\theta)= \Pi_{i=1}^{m}L(\theta)_i= \Pi_{i=1}^{m}p(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)= \Pi_{i=1}^{m}{1\over\sqrt{2\pi}\sigma}exp{(-{(y^{(i)}-\theta^Tx^{(i)})^2\over 2\sigma^2})} $$

对数变化，得到对数似然函数：

$$ \log L(\theta)=\log \prod_{i=1}^{m}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp(-\frac{(y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)})^{2}}{2\sigma ^{2}}) $$

展开化简得：

$$ \log L(\theta)=m\log \frac{1}{\sqrt{2\lambda }\sigma }-\frac{1}{\sigma ^{2}}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)})^{2} $$

使得似然函数最大，即要求目标函数最小，此时目标函数为：

$$ \frac{1}{2}\cdot \sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)})^{2}\tag{4} $$

对(4)求偏导得(以下为最小二乘法)：

$$ \theta（X^{T}X）-X^{T}y $$

令偏导数等于0，得：

$$ \theta =（X^{T}X）^{-1}X^{T}y $$

但是并不是所有的目标函数都可以这样求解，从而求得参数，往往需要用到另外一种方法，在这里，线性回归只是一种特例，求导较简单。机器学习往往需要告诉电脑需要朝着什么样的方向去学习。
对于目标函数

$$ \frac{1}{2m}\cdot \sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)})^{2} $$

随机梯度下降（SGD）

$\alpha$为学习率，随机采用一个样本进行迭代

$$ \theta_{j}=\theta _{j}+\alpha（y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)}）x_{j}^{i} $$

批量梯度下降(BATCH)

所有的样本来迭代

$$ \theta_{j}=\theta _{j}+\alpha \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}（y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)}）x_{j}^{i} $$

小批量梯度下降(MINI-BATCH)

部分样本来进行迭代

$$ \theta_{j}=\theta _{j}+\alpha \frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}（y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)}）x_{j}^{i} $$

防止过拟合 正则项

目标函数中加入对于参数项的惩罚，防止过拟合，提高模型的泛化能力。

• Ridge回归 也叫岭回归 L2正则（$\lambda \sum_{j=1}^{m}\theta _{j}^{2}$）

$$ J(\theta)=\frac{1}{2}\cdot \sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)})^{2}+\lambda \sum_{j=1}^{m}\theta _{j}^{2} $$

• LASS0 L1 正则（$\lambda \sum_{j=1}^{m}\left | \theta \right |$）

$$ J(\theta)=\frac{1}{2}\cdot \sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)})^{2}+\lambda \sum_{j=1}^{m}\left | \theta \right | $$

• Elastic Net

$$ J(\theta)=\frac{1}{2}\cdot \sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\theta ^{T}x^{(i)})^{2}+\lambda (P\sum_{j=1}^{m}\left | \theta \right |+(1-p)\sum_{j=1}^{m}\theta _{j}^{2}) $$