黎曼积分求解可微曲线的弧线长度

简介: 黎曼积分求解可微曲线的弧线长度假设曲线y=f(x)在区间[a,b]内光滑、可微且连续。那么可以根据微积分求解y=f(x)在a
黎曼积分求解可微曲线的弧线长度


假设曲线y=f(x)在区间[a,b]内光滑、可微且连续。那么可以根据微积分求解y=f(x)在a<= x <=b区间内形成的弧线长度。
如图:


从微分的思想入手建立数学函数式,假设s为曲线上(x,f(x))到(x+dx,f(x+dx))两点连线。这两点在水平方向的长度为dx,在垂直方向的y坐标轴长度为dy,根据直角三角形的勾股定理可知:

其中,由f’(x)=dy/dx,得到dy =f’(x) dx

从而:

即ds的长度公式最终求得为:


弧线长度是由无穷多个ds连接起来形成,这是一个积分问题。根据积分可知[a,b]的弧线长度为:




验证一个简单的二次曲线方程y=x2在[0,1]的长度:
syms x y f;  
y=x.^2;  
line=ezplot(y,[0,1]);      
set(line,'Color','r','LineWidth',0.5);      

grid on;   
hold on;

f=diff(y)
F=sqrt(1+f.^2)

S=int(F,[0,1])
 
f =
 
2*x
 
 
F =
 
(4*x^2 + 1)^(1/2)
 
 
S =
 
log(5^(1/2) + 2)/4 + 5^(1/2)/2


图:



长度为:S = log(5^(1/2) + 2)/4 + 5^(1/2)/2
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