内容提要：本节给出了博弈论经典案例《囚徒困境》的数学函数和MATLAB图形，指出博弈论不存在边际，使囚徒困境的理解更加直观和简单。使用诺贝尔奖获得者沙普利的配对理论，指出哪种配对是稳定的配对。配对是我们如何从生活中得到既是我们所选择的，同时也是选择我们的事物。而博弈论是选择我想得到的但却是对手不想得到的。博弈论是配对理论的一种反应用。本节不仅分析了博弈双方在自利情况下的稳定配对，还分析了存在自利，克己和利他多种情况下的稳定配对。
创新要点：
1.给出了囚徒困境的数学函数，指出博弈论不存在边际。
2.使用MATLAB绘制了囚徒困境的三维模型，使其更直观，更容易理解。
3.使用配对理论分析了囚徒困境的稳定配对，并且分析了博弈双方分别是利己，克己和利他情况下的稳定配对。
博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。表面上不同的相互作用可能表现出相似的激励结构（incentive structure），所以他们是同一个游戏的特例。其中一个有名有趣的应用例子是囚徒困境。
具有竞争或对抗性质的行为称为博弈行为。在这类行为中，参加斗争或竞争的各方各自具有不同的目标或利益MV。为了达到各自的目标和利益，各方必须考虑对手的各种可能的行动方案α，并力图选取对自己最为有利或最为合理的方案α。比如日常生活中的下棋，打牌等。博弈论就是研究博弈行为中斗争各方是否存在着最合理的行为方案，以及如何找到这个合理的行为方案的数学理论和方法。
囚徒困境与配对理论
1950年，由就职于兰德公司的梅里尔·弗勒德（Merrill Flood）和梅尔文·德雷希尔（Melvin Dresher）拟定出相关困境的理论，后来由顾问艾伯特·塔克（Flbert
Tucker）以囚徒方式阐述，并命名为“囚徒困境”。经典的囚徒困境如下：
警方逮捕甲、乙两名嫌疑犯，但没有足够证据指控二人有罪。于是警方分开囚禁嫌疑犯，分别和二人见面，并向双方提供以下相同的选择：
若一人认罪并作证检控对方（相关术语称“背叛”对方），而对方保持沉默，此人将即时获释，沉默者将判监10年。
若二人都保持沉默（相关术语称互相“合作”），则二人同样判监半年。
若二人都互相检举（互相“背叛”），则二人同样判监2年。
用表格概述如下（如表6-1所示）：
表6-1囚徒困境案例
若对方沉默、我背叛会让我获释，所以会选择背叛。
若对方背叛指控我，我也要指控对方才能得到较低的刑期，所以也是会选择背叛。
二人面对的情况一样，所以二人的理性思考都会得出相同的结论——选择背叛。背叛是两种策略之中的支配性策略。因此，这场博弈中唯一可能达到的纳什均衡，就是双方参与者都背叛对方，结果二人同样服刑2年。
这场博弈的纳什均衡，显然不是顾及团体利益的帕累托最优解决方案。以全体利益而言，如果两个参与者都合作保持沉默，两人都只会被判刑半年，总体利益更高，结果也比两人背叛对方、判刑2年的情况较佳。但根据以上假设，二人均为理性的个人，且只追求自己个人利益。均衡状况会是两个囚徒都选择背叛，结果二人判监均比合作为高，总体利益较合作为低。这就是“困境”所在。例子有效地证明了：非零和博弈中，帕累托最优和纳什均衡是互相冲突的。
在博弈论中，是不存在边际的，即可选择的点是不连续的，不可导。我们来构建函数，使博弈论的函数可导。假设甲合作的可能性为x，认罪的可能性为1-x，其中0≤x≤1；设乙合作的可能性为y，认罪的可能性为1-y，其中0≤y≤1。假设x，y大于等于0.5时表示合作，小于0.5时表示认罪，并且二人被判刑的总年限为z。则得到如下分段函数
在MATLAB中输入如下函数，可以得到对应的囚徒困境的三维图形（如图6-21所示）。
[x,y]=meshgrid(0:0.1:1,0:0.1:1);
z=0.5*x.*y.*(x>=0.5&y>=0.5)+0.5*x.*y.*(x>=0.5&y>=0.5)+0*(1-x).*y.*(x<0.5&y>=0.5)+10*(1-x).*y.*(x<0.5&y>=0.5)+10*x.*(1-y).*(x>=0.5&y<0.5)+0*x.*(1-y).*(x>=0.5&y<0.5)+2*(1-x).*(1-y).*(x<0.5&y<0.5)+2*(1-x).*(1-y).*(x<0.5&y<0.5);
surf(x,y,z),shadingflat,hold on
title('囚徒困境')
xlabel('x轴囚徒甲合作')
ylabel('y轴囚徒乙合作')
zlabel('z轴二人总支付')
图6-21有边际的囚徒困境
当x和y分别合作和认罪时，即当x和y分别等于1，0时，得到三维坐标系内的4个极值点（1,1,1），（1,0,10），（0,1,10）和（0,0,4）。
表6-2囚徒困境的4种情况
当x和y分别取0,1时，得到了囚徒困境的4个极值点，构建的函数符合囚徒困境。当甲、乙两人均合作（1,1）时，总的支付为最小的1。但是由于二者均处于自身利益最大化的考虑，二者均选择了认罪（0，0），二者均被判刑2年，二者并没有达到系统的最优值1年，即每人0.5年。
其中甲x对应自己的被判年数的函数为
其中乙y对应自己的被判年数的函数为
继续在MATLAB中输入如何程序，得到甲的利益函数。甲利益函数对应的4个极值分别为（1,1,0.5），（0,1,0），（1,0,10）和（1,1,2）（如图6-22所示）。
[x,y]=meshgrid(0:0.1:1,0:0.1:1);
z=0.5*x.*y.*(x>=1&y>=1)+0*(1-x).*y.*(x<=0&y>=1)+10*x.*(1-y).*(x>=1&y<=0)+2*(1-x).*(1-y).*(x<=0&y<=0);
surf(x,y,z),shadingflat,hold on
图6-22有边际和无边际的囚徒困境
如果限定x和y只能等于0或1，则可以得到无边际的囚徒困境，输入如下程序得到无边际的囚徒困境图形（如图6-23所示）。
[x,y]=meshgrid(0:0.1:1,0:0.1:1);
z=0.5*x.*y.*(x>=1&y>=1)+0.5*x.*y.*(x>=1&y>=1)+0*(1-x).*y.*(x<=0&y>=1)+10*(1-x).*y.*(x<=0&y>=1)+10*x.*(1-y).*(x>=1&y<=0)+0*x.*(1-y).*(x>=1&y<=0)+2*(1-x).*(1-y).*(x<=0&y<=0)+2*(1-x).*(1-y).*(x<=0&y<=0);
surf(x,y,z),shadingflat,hold on
title('无边际的囚徒困境')
xlabel('x轴囚徒甲合作')
ylabel('y轴囚徒乙合作')
zlabel('z轴二人总支付')
图6-23无边际的囚徒困境
在囚徒困境中，一个人的选择不仅影响自己的利益，也会影响对方的利益，而二者处于自己利益最大化的考虑，最终的结果却不是自己的利益最大化。在后边共享经济学中我们会介绍配对理论，此处通过配对理论来解释囚徒困境。
诺贝尔经济学奖获得者埃尔文•罗斯在《共享经济：市场设计及其应用》中写到：“配对在经济学术语中可以解释为，我们如何从生活中得到既是我们所选择的，同时也是选择我们的事物。”而博弈就是选择我们想要选择的，而不让对方选择他们想要选择的。在囚徒困境中，甲和以均有4种选择，最好的是自己选择认罪，对方选择合作，自己被判0年，对方被判10年；第2种的是自己和对方均合作，每人被判0.5年；第3种是双方都认罪，均被判2年；最差的一种是自己合作，对方认罪，自己被判10年，对方释放（如表6-3所示）。
表6-3囚徒困境的四种配对
在博弈论中推理中，如果对方选择认罪时，自己选择合作会被判10年，而选择认罪会被判2年，所以在对方认罪的前提下，自己选择认罪是最好的策略。当对方选择合作时，如果自己选择合作，会被判0.5年，而选择认罪会被释放，所以在对方选择合作时，自己选择认罪是最好的策略。对方的推理相同，最后两人都选择了认罪，均被判两年。他们的选择没有达到系统的最优值，因为如果二者都选择合作，他们均被判0.5年，比2年少。
在4个配对当中，第1种配对对自己是最有利的，但是对对方是最不利的。当自己选择认罪时，给对方的选择是合作或认罪，而认罪要比合作获得的利益多。这个配对是不稳定的，因为对方会因为自己选择认罪而选择认罪，所以第1种配对达不到自己认罪，对方合作的配对组合。在第1种配对中，不仅为自己选择了最大的利益，也为对方选择了最大的损失。
在第2种配对中，甲不仅为自己选择了合适的利益，也为对方选择了合适的利益。但是这种配对也是不稳定的，对于甲来说，如果对方选择了合作，而自己认罪，自己将获得更大的利益，从而达到第1种配对的状态。但是自己获得的利益是以对方更大的损失换来的，所以总的利益会减少。自己增加的利益为少被判刑2年，而对方的损失是多被判刑8年，自己的自利使两人的配对相比之前多被判刑6年。
第3种配对中，双方都选择了认罪，任何单方面的改变，都不会使自己的境遇变得更好，是一个稳定的配对。如果一方选择合作，那么相应的给对方选择了更好的配对，对方将被释放，而自己的损失增加。在第3种配对中，单方面的改变会变为第1种或第4种配对，都是不稳定的配对。
第4种配对中，自己选择了最大的损失，对方选择了最大的利益，在理智的情况之下，只有利他的精神会导致此种配对的发生。
在囚徒困境的假设中，博弈的双方都是理性利己的，追求自身利益的最大化，而第2种配对则是二人博弈的结果。除了自利，还有两种美德影响着人类的选择。亚当•斯密在《道德情操论》中论述了三种美德，分别为审慎（利己），合宜（克己）和慈善（利他），而三种美德分别为心理的自爱，同情和理性三种机能推荐给我们。如果博弈双方存在着一方的利他美德，那么第1种或者第4种配对就会发生，利他的一方以对方利益最大化为出发点，自己选择了合作。而如果双方都是利他的话，第2种配对就会发生，均以对方利益最大化为出发点，而达到二人博弈的整体最优点。在存在利他美德的博弈中，第1种，第2种和第4种配对都是稳定的配对。如果博弈中存在克己的情感，即不伤害他人。当对方选择合作时，如果自己选择认罪，将会使对方遭受更大的损失，自己会选择合作；如果对方选择认罪，自己选择合作会使自己遭受更大的损失，所以自己也会选择认罪。如果双方都是克己的，那么第2种配对就是稳定的配对。如果一方是克己的，一方是利己的，那么第3种配对就是稳定的配对（如表6-4所示）。
表6-4自利，利己和利他情况下的稳定配对
在一个利己的环境中，很难达到个人利益和整体的利益最大化，而在克己或利他的环境中，就可以达到整体的利益和个人的最大化。在哲学部分我们论述过亚当•斯密的哲学。他在《国富论》中论述了自利可以使自己的利益增加，进而使整体的利益增加，而在《道德情操论》论述了审慎（利己），合宜（克己）和慈善（利他）这三种美德中，推崇克己这种美德。亚当•斯密的完整论述是在遵守克己原则下的利己行为，即不伤害他人的行为，既可以达到个人利益最大化，也可以达到整体利益的最大化。囚徒困境中，博弈二人都选择了坦白，得到了纳什均衡，但不是帕累托最优。二人都选择合作，可以达到帕累托最优。在博弈二人均是利己的假设前提下，只能得到纳什均衡这个次优解，而不能达到帕累托最优解。而在二人均是克己的假设下，可以得到帕累托最优这个稳定的解。这也证明了亚当•斯密在《道德情操论》中推崇克己，而不是自利对整个社会发展是更有利的。
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