序
Basic-Paxos是分布式一致性算法的元祖算法之一，现代的分布式一致性算法基本都是Basic-Paxos算法的优化、改进或简化。
由于过于晦涩难懂，Basic-Paxos也是最难理解的算法之一，然而有理由相信，直接从数学证明推导出Basic-Paxos算法是理解它最便捷的方法。
单提案表决：单轮投票一致性
定义1
设分布式节点总集合
，定义集合 ，且中任意两个成员的交集不为空，则称为的法定集（或称多数派）。
定义2
定义为单轮投票的全部要素的集合，为参加投票的法定集合的集合，为本轮投票的编号，为本轮提出的决议
约束α
轮投票中，每个节点只能支持一个提案
约束β
轮投票中，只有被法定集合接受的提案才被确认为本轮决议
断言A
在同时满足约束α和约束β的情况下，一轮投票中不可能同时有两个不同的提案被表决通过
断言A的证明（反证法）
假设法定集合通过了提案，法定集合通过了提案，且，由于任意两个法定集合之间存在交集，那么必定存在节点，且N同时支持提案和，这违反了约束α，因此断言A成立。
多提案带来的问题
约束α和约束β定义了单轮投票一致性约束，能够保证单轮投票产生唯一合法决议。但多个不同的提案需要多轮表决来决出唯一合法决议
多提案表决：多轮投票一致性
定义3
定义R的最大通过决议表征在R轮投票之前通过的所有决议中比R轮编号小的编号最大的一轮表决所通过的表决结果，如过它不存在则定义为。
约束γ
在任一轮投票中，如果，则设可以任意选定；如果，则设
断言B（弱一致性）：
理想状态下（每轮投票按编号顺序产生并按序表决），在同时满足约束α、约束β和约束γ的情况下，则多轮投票后总能保证一致性
断言B的证明（反证法）：
在理想状态下（每轮投票按编号顺序产生并按序表决），假设经过轮投票后，存在新的一轮投票，使得，
如果，则为任意自定义决议，根据约束γ，，这将导出，与假设矛盾。
如果，则，根据约束γ，，这将导出，仍与假设矛盾。
因此断言B得证。
时序导致的问题
多轮投票表决中，即使每轮投票按序产生，也不能保证最终形成决议的顺序与编号顺序一致（现实模型中的网络传输因素或系统设计因素），这将导致断言B导出的弱一致性不成立。
非理想状态下断言B的证伪：
在非理想状态下，假定存在以下表决序列，如果轮投票产生了决议，根据约束γ，。
但由于的决议产生于决议发生之前，此时并不存在的表决结果，于是。值此时被任意表决。
因此约束γ被破坏，断言B不成立。
多轮投票强一致性
约束δ
如果轮投票之前，存在轮投票，轮投票已经产生了表决结果，且轮投票的编号大于，则轮投票的任何决议都不被接受（轮表决被放弃并无效化）
断言C（强一致性）：
在同时满足约束α、约束β、约束γ和约束δ的情况下，多轮投票后总能保持决议一致性。
断言C的证明：
假设在非理想条件下，存在下列乱序表决，根据约束δ，与的表决将被无效化，等效于将与从表决序列中丢弃，因此原表决序列化简为
于是被转换为理想状态下的多轮投票一致性问题，根据断言B，一致性成立，因此断言C成立。
两阶段原型导出
断言D
在支持多提案表决的一致性框架（强一致性和弱一致性）内，每一轮投票都必须遵循两阶段模型，其目的是：
第一阶段：
获取的值
第二阶段：
得出本轮决议
断言D的证明：
根据约束γ和约束δ，断言D自动成立
Basic-Paxos算法的自然导出
首先定义角色Proposers和Acceptors。Proposers提出提案，提案信息包括提案编号和提议的value（提案的内容）；Acceptor收到提案后可以接受（accept）提案，若提案获得多数Acceptors的接受，则称该提案被批准（chosen）。
两阶段协议表决：
Prepare阶段
- Proposer选择一个提案号n，向大于半数的Acceptor发送Prepare消息；
- 如果Acceptor还没有承若过不接受编号小于m(m>n)的提案，则承诺不再接受编号小于n的提案，并返回它已经接受的编号小于n的提案中编号最大的提案。
Accept阶段
- Proposer接受到所有Acceptor对Prepare请求的回应后，提出编号为n值为v的提案。值v是Acceptor接受到的所有编号小于n的提案中编号最大的提案的值。如果没有Acceptor接受过编号小于n的提案，则值v可由Proposer自己决定。提出提案后，向所有的Acceptor发送Accept消息，以期Acceptor接受提案。
- 如果Acceptor没有向其它的Prepare请求承诺过不再接受编号小于m(m>n)的提案，则接受编号为n的提案。
