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一道自动机的小题

简介:

题目描述:0和1构成的二进制数,求被3除的余数
改变题目:0和1构成的十进制数,求被3除的余数
(对于改变的题目,可以求1的个数,再%3就行了,这里只是用来和二进制情况做个对比)
题解:

  • 假设二进制数表示如下
    An1An1An3...A0
  • 写成十进制为
    S=An12n1+An22n2...+A0
  • 注意这样一个事实
    m2n=m(31)n
    m2n%3=m%3(n>=0,m>int)
  • 所以对于S前两项之和除以3的余数实际上等于
    Mn2=(2An1+An2)%3
    Mn2=(2Mn1+An2)%3
  • 同理,再增加一项An22n2后前三项的余数为
    Mn3=(2Mn2+An3)%3
  • 由此得递推公式
    Mn=(2Mn1+An1)%3
  • 所以可得到一个状态机,基于状态机用O(n)的复杂度即可求出原题的解
    这里写图片描述

最后,附上一道用自动机能不错地解决的题数的合法字符串表示

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