二叉排序树的特征
二叉排序树或者是一棵空树,或者是具有如下特性的二叉树：
1.每一元素都有一个键值, 而且不允许重复;
2.若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
3.若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
4.它的左、右子树也都分别是二叉排序树。
二叉排序树保存的元素构造
template <typename Type>
class Element
{
public:
Element(const Type& _key): key(_key) {}
Element():key(0) {}
Type key;
//在这儿可以很容易的添加更多的数据
//方便对Element进行扩展
};
二叉排序树节点的设计与实现
template <typename Type>
class BstNode
{
friend class BsTree<Type>;
public:
BstNode(const Element<Type> &_data = 0,
BstNode *_leftChild = NULL,
BstNode *_rightChild = NULL)
: data(_data), leftChild(_leftChild), rightChild(_rightChild) {}
const Type &getData() const
{
return data.key;
}
private:
//Node当中保存的是Element元素
Element<Type> data;
BstNode *leftChild;
BstNode *rightChild;
void display(int i);
};
//中序遍历二叉树:
//能够保证该二叉树元素按照递增顺序打印出来
template <typename Type>
void BstNode<Type>::display(int i)
{
//首先访问左子树
if (leftChild != NULL)
leftChild->display(2*i);
//访问中间节点
//Number表示为如果该树为完全二叉树/满二叉树, 其编号为几
std::cout << "Number: " << i << ", data.key = " << data.key << std::endl;
//访问右子树
if (rightChild != NULL)
rightChild->display(2*i+1);
}
二叉排序树的构造
template <typename Type>
class BsTree
{
public:
//构造与析构
BsTree(BstNode<Type> *init = NULL): root(init) {}
~BsTree()
{
if (!isEmpty())
makeEmpty(root);
}
//二叉查找树的三大主力:插入, 删除, 搜索(又加入了一个迭代搜索)
//插入
bool insert(const Element<Type> &item);
//删除
void remove(const Element<Type> &item)
{
remove(item, root);
}
//递归搜索
const BstNode<Type>* search(const Element<Type> &item)
{
return search(item, root);
}
//迭代搜索
const BstNode<Type> *searchByIter(const Element<Type> &item);
//实用函数
void display() const
{
if (root != NULL)
root->display(1);
}
void visit(BstNode<Type> * currentNode) const
{
std::cout << "data.key = "
<< currentNode->data.key << std::endl;
}
bool isEmpty() const
{
return root == NULL;
}
void makeEmpty(BstNode<Type> *subTree);
//中序遍历
void levelOrder() const;
private:
const BstNode<Type>* search(const Element<Type> &item,
const BstNode<Type> *currentNode);
void remove(const Element<Type> &item,
BstNode<Type> *¤tNode);
private:
BstNode<Type> *root;
};
二叉排序树的插入算法
根据动态查找表的定义，“插入”操作在查找不成功时才进行；若二叉排序树为空树，则新插入的结点为新的根结点；否则，新插入的结点必为一个新的叶子结点，其插入位置由查找过程得到。
//二叉排序树插入的实现与解析
template <typename Type>
bool BsTree<Type>::insert(const Element<Type> &item)
{
//如果这是新插入的第一个节点
if (root == NULL)
{
root = new BstNode<Type>(item);
root->leftChild = root->rightChild = NULL;
return true;
}
BstNode<Type> *parentNode = NULL; //需要插入位置的父节点
BstNode<Type> *currentNode = root; //需要插入的位置
while (currentNode != NULL)
{
//如果二叉树中已经含有了该元素, 则返回插入出错
if (item.key == currentNode->data.key)
return false;
parentNode = currentNode;
//如果要插入的元素大于当前指向的元素
if (item.key < currentNode->data.key)
currentNode = currentNode->leftChild; //向左搜索
else
currentNode = currentNode->rightChild; //向右搜索
}
//此时已经查找到了一个比较合适的插入位置了
if (item.key < parentNode->data.key)
parentNode->leftChild = new BstNode<Type>(item);
else
parentNode->rightChild = new BstNode<Type>(item);
return true;
}
二叉排序树的查找算法
若二叉排序树为空，则查找不成功；否则:
1.若给定值等于根结点的关键字，则查找成功；
2.若给定值小于根结点的关键字，则继续在左子树上进行查找；
3.若给定值大于根结点的关键字，则继续在右子树上进行查找。
//二叉排序树搜索的设计与实现
//递归搜索
template <typename Type>
const BstNode<Type>* BsTree<Type>::search(const Element<Type> &item,
const BstNode<Type> *currentNode)
{
if (currentNode == NULL)
return NULL;
if (currentNode->data.key == item.key)
return currentNode;
if (item.key < currentNode->data.key)
return search(item, currentNode->leftChild);
else
return search(item, currentNode->rightChild);
}
//迭代搜索
template <typename Type>
const BstNode<Type> *BsTree<Type>::searchByIter(const Element<Type> &item)
{
for (BstNode<Type> *searchNode = root;
searchNode != NULL;
/*empty*/)
{
if (item.key == searchNode->data.key)
return searchNode;
if (item.key < searchNode->data.key)
searchNode = searchNode->leftChild;
else
searchNode = searchNode->rightChild;
}
return NULL;
}
二叉排序树的删除算法
和插入相反，删除在查找成功之后进行，并且要求在删除二叉排序树上某个结点之后，仍然保持二叉排序树的特性。
删除分三种情况:
1.被删除的结点是叶子节点:其双亲结点中相应指针域的值改为“空”, 并将该节点删除;
2.被删除的结点只有左子树或者只有右子树:其双亲结点的相应指针域的值改为 “指向被删除结点的左子树或右子树”, 然后删除该节点;
3.被删除的结点既有左子树，也有右子树:以其前驱替代之，然后再删除该前驱结点;
//二叉排序树节点删除的实现与解析如下
template <typename Type>
void BsTree<Type>::remove(const Element<Type> &item,
BstNode<Type> *¤tNode)
{
if (currentNode != NULL)
{
//如果要删除的元素小于当前元素
if (item.key < currentNode->data.key)
remove(item, currentNode->leftChild); //向左搜索删除
//如果要删除的元素大于当前元素
else if (item.key > currentNode->data.key)
remove(item, currentNode->rightChild); //向右搜索删除
//如果要删除掉的元素等于当前元素(找到要删除的元素了)
// 并且当前节点的左右子女节点都不为空
else if ((currentNode->leftChild != NULL) && (currentNode->rightChild != NULL))
{
//从当前节点的右子女节点开始,
//不断向左寻找, 找到从当前节点开始中序遍历的第一个节点
//找到的这一个节点是在当前子树中, 大于要删除的节点的第一个节点
BstNode<Type> *tmp = currentNode->rightChild;
while (tmp->leftChild != NULL)
tmp = tmp->leftChild;
//用搜索到的节点值覆盖要删除的节点值
currentNode->data.key = tmp->data.key;
//删除搜索到的节点
remove(currentNode->data, currentNode->rightChild);
}
//如果当前节点就是要删除的节点
//并且其左子女(和/或)右子女为空
//默认包含了左右子女同时为空的情况:
//即: 在if中肯定为true
else
{
BstNode<Type> *tmp = currentNode;
//如果左子女为空
if (currentNode->leftChild == NULL)
//则用他的右子女节点顶替他的位置
currentNode = currentNode->rightChild;
//如果右子女为空
else
//则用他的左子女节点顶替他的位置
currentNode = currentNode->leftChild;
//释放节点
delete tmp;
}
}
}
二叉查找树的几个实用操作
//清空二叉树
template <typename Type>
void BsTree<Type>::makeEmpty(BstNode<Type> *subTree)
{
if (subTree != NULL)
{
if (subTree->leftChild != NULL)
makeEmpty(subTree->leftChild);
if (subTree->rightChild != NULL)
makeEmpty(subTree->rightChild);
delete subTree;
}
}
//二叉查找树的层次遍历
template <typename Type>
void BsTree<Type>::levelOrder() const
{
std::queue< BstNode<Type> * > queue;
queue.push(root);
while (!queue.empty())
{
BstNode<Type> *currentNode = queue.front();
queue.pop();
visit(currentNode);
if (currentNode->leftChild != NULL)
queue.push(currentNode->leftChild);
if (currentNode->rightChild != NULL)
queue.push(currentNode->rightChild);
}
}
二叉排序树的性能分析
对于每一棵特定的二叉排序树，均可按照平均查找长度的定义来求它的 ASL 值，显然，由值相同的 n 个关键字，构造所得的不同形态的各棵二叉排序树的平均查找长度的值不同，甚至可能差别很大(如果二叉查找树退化成一条链表, 则其插入/删除/查找的性能都会退化为O(N))。
但是在随机情况下, 二叉排序树的搜索, 插入, 删除操作的平均时间代价为O(logN);
