来源：http://blog.csdn.net/tianshuai1111/article/details/7489759
题目描述：
最大子段和：给定一个长度为n的一维数组a，请找出此数组的一个子数组,使得此子数组的和sum＝a[i]+a[i+1]+……+a[j]最大，其中i>=0,i<n,j>=i,j<n
例如：31 -41 59 26 -53 58 97 -93 -23 84
子矩阵59+26-53+58+97=187为所求的最大子数组。
第一种：直接穷举法:
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 int main() 5 { 6 int a[10]={31, -41, 59, 26, -53, 58, 97, -93, -23, 84}; 7 int sum; 8 int maxsofar=0; 9 for(int i = 0 ;i< 10;++i)//控制子数组开始位置 10 { 11 for(int j = i; j< 10 ;++j)//控制子数组结束位置 12 { 13 sum=0; 14 for(int k=i;k<j;++k) 15 sum+=a[k]; 16 17 if(maxsofar<sum) 18 maxsofar=sum; 19 } 20 } 21 22 cout<<"maxsofar:"<<maxsofar<<endl; 23 24 return 0; 25 }
时间复杂度为O(n*n*n)
第二种：带记忆的递推法：
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 int main() 5 { 6 int a[10]={31, -41, 59, 26, -53, 58, 97, -93, -23, 84}; 7 int sum; 8 int maxsofar=0; 9 int current[10]; 10 current[0]=a[0]; 11 for(int i=1 ;i< 10;++i) //首先生成个数为1，2，3……10个的数组和 12 { 13 current[i]=current[i-1]+a[i]; 14 } 15 16 for(int i=0;i< 10;++i) 17 { 18 for(int j=i;j< 10;++j) //下面通过已求出的和递推 19 { 20 sum=current[j]-current[i-1]; 21 22 if(sum>maxsofar) 23 maxsofar=sum; 24 } 25 } 26 27 cout<<"maxsofar:"<<maxsofar<<endl; 28 29 return 0; 30 }
显然第二种方法比第一种方法有所改进，时间复杂度为O(n*n)。
第三种：动态规划
下面我们来分析一下最大子段和的子结构，令b[j]表示从a[0]~a[j]的最大子段和。
b[j]的当前值只有两种情况:
(1) 最大子段一直连续到a[j]
(2) 以a[j]为起点的子段 //如果不是第（1）种，则（1）肯定为负，舍去
还有一种情况，那就是最大子段没有包含a[j]，如果没有包含a[j]的话，那么在算b[j]之前的时候我们已经算出来了，注意我们只是算到位置为j的地方，所以最大子段在a[j]后面的情况我们可以暂时不考虑。
由此我们得出b[j]的状态转移方程为：b[j]=max{b[j-1]+a[j], a[j]},
所求的最大子段和为max{b[j],0<=j<n}。进一步我们可以将b[]数组用一个变量代替。
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 int main() 5 { 6 int a[10]={31, -41, 59, 26, -53, 58, 97, -93, -23, 84}; 7 8 int b=0,sum=a[0]; 9 10 for(int i=0;i<10;i++) 11 { 12 if(b>0) 13 b+=a[i]; 14 else 15 b=a[i];//如果前面为零，如果相加，则影响后面结果，所以抛弃前面总和 16 if(b>sum) 17 sum=b; 18 } 19 20 21 cout<<"MaxSum:"<<sum<<endl; 22 23 return 0; 24 }
算法复杂度：O(n)
这个算法只能够求得最大子段和，不能够明确得出最大子段的位置。
算法三的另一段参考代码：
1 public int maxSubsequence(int[] array) { 2 if (array.length == 0) { 3 return 0; 4 } 5 int max = Integer.MIN_VALUE; 6 int[] maxSub = new int[array.length]; 7 maxSub[0] = array[0]; 8 max=maxSub[0]; 9 10 for (int i = 1; i < array.length; i++) { 11 maxSub[i] = (maxSub[i-1] > 0) ? (maxSub[i-1] + array[i]) : array[i]; 12 if (max < maxSub[i]) { 13 max = maxSub[i]; 14 } 15 } 16 return max; 17 }
http://blog.csdn.net/tianshuai1111/article/details/7489759#
http://www.cnblogs.com/reynold-lei/p/3320676.html
