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《机器学习实战》系列博客是博主阅读《机器学习实战》
这本书的笔记也包含一些其他python实现的机器学习算法
算法实现均采用python
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关于回归算法的分析与scikit-learn代码分析实现请参考：点击阅读 ，
Logistic回归模型案例实战：《机器学习实战》Logistic回归算法（2）
下面算法演示用到的数据集在博客最后
一：Sigmoid函数和Logistic回归分类器
1：Sigmoid函数
单位阶跃函数（或者称为海维塞德阶跃函数）：在二分问题下，函数的输出类别是0和1，Simoid函数就是属于这种函数
其函数表达式为：
其显示的图象为：
2：Logistic回归分类器
Simoid函数的输入记为：z=w0x0 + w1x1 + w2x2 .... + wnxn
如果采用向量的写法，上述公式可以写成z=w^t * x(w^t表示系数w的转置矩阵)
代入到Sigmoid函数可得：
其输出分大于0.5和小于0.5，表示两个类别，也就实现了分类，确定了分类器的函数形式，接下来问题就是求最佳回归系数
二：基于最优化方法的最佳回归系数确定
2.1：梯度上升法
主要思想：要找到某函数的最大值，最好的办法是沿着该函数的梯度方向探寻
下边这种图片是机器学习实战对梯度的数学解释：
梯度是有方向的，总是沿着函数值上升最快的方向移动（这有点感觉想物理中的加速度），因此我们沿着梯度方向或者反方向行进时，就能达到一个函数的最大值或者最小值，因此梯度上升算法就是不断更新梯度值，直到梯度不再变化或者变化很小，即函数达到了最大值
梯度算法的迭代公式为（alpha为步长，即每一步移动量）：
那么问题来了，我们如何求解函数的梯度，在 Machine Learning in Action一书中，作者没有解释，直接给出了代码
h = sigmoid(dataMatrix*weights) error = (labelMat - h) weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error
当然在实战这本书也没有具体说明（这里有一篇博客对这个公式进行了猜想推测：http://blog.sina.com.cn/s/blog_61f1db170101k1wr.html ）
求梯度上升算法的代码，并画出图形：
#coding:utf-8
'''
Created on 2016/4/24
@author: Gamer Think
'''
from numpy import *
#加载数据集
def loadDataSet():
dataMat = []
labelMat = []
fp = open("ex1.txt")
for line in fp.readlines():
lineArr = line.strip().split("\t") #每行按\t分割
dataMat.append([1.0,float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
labelMat.append(float(lineArr[2]))
return dataMat,labelMat
#定义Sigmoid函数
def sigmoid(inX):
return 1.0/(1+exp(-inX))
#定义求解最佳回归系数
def gradAscent(dataMatIn,classLabels):
dataMatrix = mat(dataMatIn) #将数组转为矩阵
labelMat = mat(classLabels).transpose()
m,n = shape(dataMatrix) #返回矩阵的行和列
alpha = 0.001 #初始化 alpha的值
maxCycles = 500 #最大迭代次数
weights = ones((n,1)) #初始化最佳回归系数
for i in range(0,maxCycles):
#引用原书的代码，求梯度
h = sigmoid(dataMatrix*weights)
error = labelMat - h
weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose() * error
return weights
#分析数据，画出决策边界
def plotBestFit(wei,dataMatrix,labelMat):
import matplotlib.pyplot as plt
weights = wei.getA() #将矩阵wei转化为list
dataArr = array(dataMatrix) #将矩阵转化为数组
n = shape(dataMatrix)[0]
xcord1 = [];ycord1=[]
xcord2 = [];ycord2=[]
for i in range(n):
if int(labelMat[i])==1:
xcord1.append(dataArr[i,1])
ycord1.append(dataArr[i,2])
else:
xcord2.append(dataArr[i,1])
ycord2.append(dataArr[i,2])
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(xcord1,ycord1,s=30,c='red', marker='s')
ax.scatter(xcord2,ycord2,s=30,c="green")
x = arange(-3.0,3.0,0.1)
y = (-weights[0]-weights[1] * x)/weights[2]
ax.plot(x,y)
plt.xlabel("x1") #X轴的标签
plt.ylabel("x2") #Y轴的标签
plt.show()
if __name__=="__main__":
dataMatrix,labelMat = loadDataSet()
weight = gradAscent(dataMatrix, labelMat)
plotBestFit(weight,dataMatrix,labelMat)
显示效果图：
2.2随机梯度上升算法
梯度上升算法在每次更新回归系数时都需要遍历整个数据集，该方法在处理100个左右的数据集尚可，但如果数据量增大，那该方法的计算量就太大了，有一种改进方法是一次仅用一个样本点来更新回归系数，该方法称为随机梯度上升算法，由于可以在新样本到来时对分类器进行增量式更新，因而随机梯度上升算法是一个在线学习算法。
随机梯度上升算法的代码如下：
<span style="font-size:18px;">#随机梯度上升算法求回归系数
def stocGradAscent0(dataMatrix,labelMat):
dataMatrix = array(dataMatrix)
m,n = shape(dataMatrix)
alpha = 0.01
weights = ones(n)
for i in range(0,m):
h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))
error = labelMat[i] - h
weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i]
return weights</span><span style="font-size: 14px;">
</span>
#随机梯度上升算法
weight = stocGradAscent0(dataMatrix, labelMat)
print weight
plotBestFit(weight,dataMatrix,labelMat)
2.3改进版的随机梯度上升算法
<span style="font-size:18px;">#改进版的随机梯度上升算法
def stocGradAscent1(dataMatrix,labelMat,numIter=150):
m,n = shape(dataMatrix)
weights = ones(n)
for i in range(0,numIter):
dataIndex = range(m)
for j in range(0,m):
alpha = 4/(1.0+j+i)+0.01 #(1)
randIndex = int(random.uniform(0,len(dataIndex))) #(2)
h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex] * weights))
error = labelMat[randIndex] - h
weights = weights + alpha * error * dataMatrix[randIndex]
del(dataIndex[randIndex])
return weights </span><span style="font-size: 14px;">
</span>
(1)：alpha在每次
迭代的时候都会调整，会缓解数据波动和高频波动，另外alpha会随着迭代次数不断减小，但永远不会减小到0，这是因为（1）中存在一个常数项，这样做的目的是保证在多次迭代后新数据仍有一定的影响力，如果处理的问题是动态的，可以适当加大上边的常数项，来保证新的书获得更大的回归系数，另外一点值得注意的是，在降低alpha的函数中，alpha每次减小1/(j+i)，其中j是迭代次数，i是样本点的下标，这样当j<<max(i)时，alpha就不是严格下降的，避免参数的严格下降也是常见于模拟退火算法等其他优化算法中
(2)：通过随机选择样本来更新回归系数，这样方法将减小周期性波动，每次随机从列表中选出一个值，然后从列表中删除该值。
此外增加了一个迭代次数作为第三个参数，如果不给定的话，默认是150次。
<span style="font-size:18px;"> #改进版的随机梯度上升算法
weight = stocGradAscent1(array(dataMatrix), labelMat)
print weight
plotBestFit(weight,dataMatrix,labelMat)</span>
显示效果图如下：
数据集内容如下：
-0.017612 14.053064 0
-1.395634 4.662541 1
-0.752157 6.538620 0
-1.322371 7.152853 0
0.423363 11.054677 0
0.406704 7.067335 1
0.667394 12.741452 0
-2.460150 6.866805 1
0.569411 9.548755 0
-0.026632 10.427743 0
0.850433 6.920334 1
1.347183 13.175500 0
1.176813 3.167020 1
-1.781871 9.097953 0
-0.566606 5.749003 1
0.931635 1.589505 1
-0.024205 6.151823 1
-0.036453 2.690988 1
-0.196949 0.444165 1
1.014459 5.754399 1
1.985298 3.230619 1
-1.693453 -0.557540 1
-0.576525 11.778922 0
-0.346811 -1.678730 1
-2.124484 2.672471 1
1.217916 9.597015 0
-0.733928 9.098687 0
-3.642001 -1.618087 1
0.315985 3.523953 1
1.416614 9.619232 0
-0.386323 3.989286 1
0.556921 8.294984 1
1.224863 11.587360 0
-1.347803 -2.406051 1
1.196604 4.951851 1
0.275221 9.543647 0
0.470575 9.332488 0
-1.889567 9.542662 0
-1.527893 12.150579 0
-1.185247 11.309318 0
-0.445678 3.297303 1
1.042222 6.105155 1
-0.618787 10.320986 0
1.152083 0.548467 1
0.828534 2.676045 1
-1.237728 10.549033 0
-0.683565 -2.166125 1
0.229456 5.921938 1
-0.959885 11.555336 0
0.492911 10.993324 0
0.184992 8.721488 0
-0.355715 10.325976 0
-0.397822 8.058397 0
0.824839 13.730343 0
1.507278 5.027866 1
0.099671 6.835839 1
-0.344008 10.717485 0
1.785928 7.718645 1
-0.918801 11.560217 0
-0.364009 4.747300 1
-0.841722 4.119083 1
0.490426 1.960539 1
-0.007194 9.075792 0
0.356107 12.447863 0
0.342578 12.281162 0
-0.810823 -1.466018 1
2.530777 6.476801 1
1.296683 11.607559 0
0.475487 12.040035 0
-0.783277 11.009725 0
0.074798 11.023650 0
-1.337472 0.468339 1
-0.102781 13.763651 0
-0.147324 2.874846 1
0.518389 9.887035 0
1.015399 7.571882 0
-1.658086 -0.027255 1
1.319944 2.171228 1
2.056216 5.019981 1
-0.851633 4.375691 1
-1.510047 6.061992 0
-1.076637 -3.181888 1
1.821096 10.283990 0
3.010150 8.401766 1
-1.099458 1.688274 1
-0.834872 -1.733869 1
-0.846637 3.849075 1
1.400102 12.628781 0
1.752842 5.468166 1
0.078557 0.059736 1
0.089392 -0.715300 1
1.825662 12.693808 0
0.197445 9.744638 0
0.126117 0.922311 1
-0.679797 1.220530 1
0.677983 2.556666 1
0.761349 10.693862 0
-2.168791 0.143632 1
1.388610 9.341997 0
0.317029 14.739025 0
-1.395634 4.662541 1
-0.752157 6.538620 0
-1.322371 7.152853 0
0.423363 11.054677 0
0.406704 7.067335 1
0.667394 12.741452 0
-2.460150 6.866805 1
0.569411 9.548755 0
-0.026632 10.427743 0
0.850433 6.920334 1
1.347183 13.175500 0
1.176813 3.167020 1
-1.781871 9.097953 0
-0.566606 5.749003 1
0.931635 1.589505 1
-0.024205 6.151823 1
-0.036453 2.690988 1
-0.196949 0.444165 1
1.014459 5.754399 1
1.985298 3.230619 1
-1.693453 -0.557540 1
-0.576525 11.778922 0
-0.346811 -1.678730 1
-2.124484 2.672471 1
1.217916 9.597015 0
-0.733928 9.098687 0
-3.642001 -1.618087 1
0.315985 3.523953 1
1.416614 9.619232 0
-0.386323 3.989286 1
0.556921 8.294984 1
1.224863 11.587360 0
-1.347803 -2.406051 1
1.196604 4.951851 1
0.275221 9.543647 0
0.470575 9.332488 0
-1.889567 9.542662 0
-1.527893 12.150579 0
-1.185247 11.309318 0
-0.445678 3.297303 1
1.042222 6.105155 1
-0.618787 10.320986 0
1.152083 0.548467 1
0.828534 2.676045 1
-1.237728 10.549033 0
-0.683565 -2.166125 1
0.229456 5.921938 1
-0.959885 11.555336 0
0.492911 10.993324 0
0.184992 8.721488 0
-0.355715 10.325976 0
-0.397822 8.058397 0
0.824839 13.730343 0
1.507278 5.027866 1
0.099671 6.835839 1
-0.344008 10.717485 0
1.785928 7.718645 1
-0.918801 11.560217 0
-0.364009 4.747300 1
-0.841722 4.119083 1
0.490426 1.960539 1
-0.007194 9.075792 0
0.356107 12.447863 0
0.342578 12.281162 0
-0.810823 -1.466018 1
2.530777 6.476801 1
1.296683 11.607559 0
0.475487 12.040035 0
-0.783277 11.009725 0
0.074798 11.023650 0
-1.337472 0.468339 1
-0.102781 13.763651 0
-0.147324 2.874846 1
0.518389 9.887035 0
1.015399 7.571882 0
-1.658086 -0.027255 1
1.319944 2.171228 1
2.056216 5.019981 1
-0.851633 4.375691 1
-1.510047 6.061992 0
-1.076637 -3.181888 1
1.821096 10.283990 0
3.010150 8.401766 1
-1.099458 1.688274 1
-0.834872 -1.733869 1
-0.846637 3.849075 1
1.400102 12.628781 0
1.752842 5.468166 1
0.078557 0.059736 1
0.089392 -0.715300 1
1.825662 12.693808 0
0.197445 9.744638 0
0.126117 0.922311 1
-0.679797 1.220530 1
0.677983 2.556666 1
0.761349 10.693862 0
-2.168791 0.143632 1
1.388610 9.341997 0
0.317029 14.739025 0
