[家里蹲大学数学杂志]第254期第五届[2013年]全国大学生数学竞赛[数学类]试题

1 ($15'$) 平面 $\bbR^2$ 上两个半径为 $r$ 的圆 $C_1$ 和 $C_2$ 外切于 $P$ 点, 将圆 $C_2$ 沿 $C_1$ 的圆周 (无滑动) 滚动一周, 这时, $C_2$ 上的 $P$ 点也随 $C_2$ 的运动而运动. 记 $\vGa$ 为 $P$ 点的运动轨迹曲线, 称为心脏线. 现设 $C$ 为以 $P$ 的初始位置 (切点) 为圆心的圆, 其半径为 $R$, 记

$$\bex \gamma:\ \bbR^2\cup\sed{\infty}\to \bbR^2\cup\sed{\infty} \eex$$ 为圆 $C$ 的反演变换, 它将 $Q\in \bbR^2\bs \sed{P}$ 映成射线 $PQ$ 上的点 $Q'$, 且满足 $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PQ'}=R^2$. 求证: $\gamma(\vGa)$ 为抛物线.

 

2 ($10'$) 设 $n$ 阶方阵 $B(t)$ 和 $n\times 1$ 矩阵 $G(t)$ 分别是

$$\bex B(t)=(b_{ij}(t)),\quad b(t)=\sex{\ba{l} b_1(t)\\ \vdots\\ b_n(t) \ea}, \eex$$ 其中 $b_{ij}(t)$ 和 $b_i(t)$ 均为关于 $t$ 的实系数多项式, $i,j=1,2,\cdots,n$. 记 $d(t)=\det B(t)$, $d_i(t)$ 为用 $b(t)$ 代替 $B(t)$ 行列式中的第 $i$ 列后所得的 $n$ 阶矩阵的行列式. 若 $d(t)$ 有实根 $t_0$ 使得 $B(t_0)X=b(t_0)$ 成为关于 $X$ 的相容线性方程组. 试证明: $d(t), d_1(t), d_2(t),\cdots, d_n(t)$ 必有次数 $\geq 1$ 的公因式.

 

3 ($15'$) 设 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上二阶连续可微, $f'(0)=1$, $f''(0)\neq 0$, 且 $0<f(x)<x, x\in (0,a)$. 令 $x_{n+1}=f(x_n), x_1\in (0,a)$.

(1) 求证: $\sed{x_n}$ 收敛并求其极限;

(2) 试问 $\sed{nx_n}$ 是否收敛? 若收敛, 求出其极限; 若不收敛, 请说明理由.

 

4 ($15'$) 设 $a>1$, $f:(0,+\infty)\to (0,+\infty)$ 可微. 求证: 存在趋于 $+\infty$ 的正数列 $\sed{x_n}$, 使得 $f'(x_n)<f(ax_n),\ n=1,2,\cdots$.

 

5 ($20'$) 设 $f:[-1,1\to\bbR$ 为偶函数, $f$ 在 $[0,1]$ 上是增函数; 又设 $g$ 是 $[-1,1]$ 上的凸函数, 即

$$\bex g(tx+(1-t)y)\leq tg(x)+(1-t)g(y),\quad \forall\ x,y\in [0,1],\quad \forall\ t\in [0,1]. \eex$$ 试证: $$\bex 2\int_{-1}^1 f(x)g(x)\rd x \geq \int_{-1}^1 f(x)\rd x\cdot \int_{-1}^1 g(x)\rd x. \eex$$

 

6 ($25'$) 设 $\bbR^{n\times n}$ 为 $n$ 阶实方阵全体, $E_{ij}$ 为 $(i,j)$ 元素为 $1$, 其余元素为 $0$ 的 $n$ 阶方阵, $i,j=1,2,\cdots,n$. 记 $\vGa_r$ 表示秩为 $r$ 的实方阵全体, $r=0,1,2,\cdots,n$; 并让 $\phi: \bbR^{n\times n}\to \bbR^{n\times n}$ 为可乘映照, 即满足

$$\bex \phi(AB)=\phi(A)\cdot \phi(B),\quad \forall\ A,B\in \bbR^{n\times n}. \eex$$ 证明:

(1) 对 $\forall\ A,B\in \vGa_r$, 有 $\rank\phi(A)=\rank\phi(B)$.

(2) 若 $\phi(0)=0$, 且存在 $r=1$ 的矩阵 $W$ 使得 $\phi(W)=0$, 则必存在可逆方阵 $R$ 使得

$$\bex \phi(E_{ij})=RE_{ij}R^{-1},\quad \forall\ i,j=1,2,\cdots,n. \eex$$