张祖锦第7卷第483期一个对数-平方根不等式

简介: n 为正整数, $0

n 为正整数, 0<yixi<1, 1in. 试证: \bexlnx1++lnxnlny1++lnyn1x11y1++1xn1yn.\eex

证明: 当 n=1 时, \beex \bea &\quad \frac{\ln x_1}{\ln y_1}\leq \sqrt{\frac{1-x_1}{1-y_1}}\\ &\la \frac{\ln x_1}{\sqrt{1-x_1}}\geq \frac{\ln y_1}{\sqrt{1-y_1}}\\ &\la f(x)= \frac{\ln x}{\sqrt{1-x}}\mbox{ 是 }(0,1)\mbox{ 上的递增函数}\\ &\la f'(x)=\frac{2-2x+x\ln x}{2x(1-x)^\frac{3}{2}}\geq 0\\ &\la g(x)= 2-2x+x\ln x\geq 0\\ &\la\seddm{ g'(x)=\ln x-1\leq 0\quad\sex{0<x<1}\\ g(1)=0}. \eea \eeex

n2 时, 由 n=1 时的结论, \bexlnx1++lnxnlny1++lnyn=ln(x1xn)ln(y1yn)1x1xn1y1yn.\eex
而仅需证明 \bex1x1xn1y1yn1x11y1++1xn1yn.\eex
其可用数学归纳法证明. 当 n=1 时, 结论自明. 当 n=2 时, \beex \bea \frac{1-x_1x_2}{1-y_1y_2} &<\frac{(1-x_1)+(1-x_2)}{1-y_1y_2} =\frac{1-x_1}{1-y_1y_2}+\frac{1-x_2}{1-y_1y_2}\\ &<\frac{1-x_1}{1-y_1}+\frac{1-x_2}{1-y_2}. \eea \eeex
假设当 n=k 时结论成立, 则当 n=k+1 时, \beex \bea \frac{1-x_1\cdots x_{k+1}}{1-y_1\cdots y_{k+1}} &<\frac{1-x_1}{1-y_1}+ \cdots +\frac{1-x_{k-1}}{1-y_{k-1}} +\frac{1-x_kx_{k+1}}{1-y_ky_{k+1}}\\ &\quad\sex{n=k \mbox{ 时的结论}}\\ &<\frac{1-x_1}{1-y_1}+\cdots +\frac{1-x_{k+1}}{1-y_{k+1}}\\ &\quad\sex{n=2 \mbox{ 时的结论}}. \eea \eeex

 

杂志目录见: http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html

目录
打赏
0
0
0
0
15
分享
相关文章
leetcode.69:x的平方根
leetcode.69:x的平方根
91 0
三角函数中的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函数性质及常用公式
三角函数中的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函数性质及常用公式
855 0
三角函数中的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函数性质及常用公式
绝对值不等式(贪心)
复习acwing算法基础课的内容,本篇为讲解基础算法:贪心——绝对值不等式,关于时间复杂度:目前博主不太会计算,先鸽了,日后一定补上。
153 0
绝对值不等式(贪心)

热门文章

最新文章

AI助理

你好,我是AI助理

可以解答问题、推荐解决方案等