1.(15′)
x1=x2=1,xn=xn−1+xn−2.
试用矩阵论方法给出xn通项.
2.(15′)
α,β为欧氏空间V中两个长度相等的向量.证明存在正交变换A使得Aα=β
3.(10′)证明n阶Hermite矩阵A有n个实特征值(考虑重数).
4.(20′).F为数域
α1,α2⋯αn,β1,β2,⋯βn
是Fn中2n个列向量.
用|α1,⋯αn|表示以α1,α2⋯αn为列向量的矩阵的行列式.证明下面的行列式等式
|α1,⋯αn|⋅|β1,⋯βn|=n∑i=1|α1,⋯αi−1,β1,αi+1,⋯αn|⋅|αi,β2,⋯βn|
5.(20′)
F为数域,V是F上n维线性空间.A是V上线性变换.证明存在唯一可对角化线性变换A1,幂零线性变换A2
使得
A=A1+A2,A1A2=A2A1
6.(20′)
F为数域,A,B,P∈Mn(F),P幂零且
(A−B)P=P(A−B),BP−PB=2(A−B)
求一个可逆矩阵Q使得AQ=QB.
7.(15′). →a,→b,→c共面的充要条件为→a×→b,→b×→c,→c×→a共面
8.(20′)空间中四点O,A,B,C使得
∠AOB=π2,∠BOC=π3,∠COA=π4
设AOB决定的平面为π1,BOC决定的平面为π2,求π1,π2二面角.求出二面角的余弦值即可.
9.(15′)
F为单叶双曲面,→n为给定非零向量.
则空间中所有与→n垂直的平面与F交线的对称中心在一条直线上
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