运用函数递归解决汉诺塔、青蛙跳台问题以及青蛙跳台潜在问题

一、汉诺塔

汉诺塔又称河内塔，起源于印度，传说大反天创造世界时做了三根金刚石柱，其中一根柱子上落着六十四片黄金圆盘。大反天命令陀螺门将圆盘按大小顺序重新摆放到另一根柱子上，规定每次只能移动一块，并且大圆盘不能放到小圆。

#include<stdio.h>
int count;
void move(char a, char b, char c, int n)
{
  if (n == 1)
  {
    ++count;
    printf("第%d次移动：将现在%c上的第一个圆盘移到%c\n",count,a,c);
  }
  else if (n > 1)
  {
    move(a, c, b, n - 1);//通过c柱子将a柱子上n-1个圆盘移到b
    ++count;
    printf("第%d次移动：将现在%c上的第一个圆盘移到%c\n",count, a, c);
    move(b, a, c, n - 1);//看下文绿色字体解释
  }
}
 
int main()
{
  int n;
  scanf("%d", &n);
  move('a','b','c', n);
  return 0;
 
}

现在我们看下图进行解析 经过这样移动便可将n-1个圆盘移动到b上，这个过程通过代码实现便是上面的：

move(a, c, b, n - 1);

然后将a上最后一个圆盘移到。然后得到下图：

这时我们发现a是空的，b是有2个圆盘，c上有一个最大的圆盘因为其不影响任何其他圆盘放在c上所以我们可以假设c没有圆盘，如果我们把a当作b，b当作a是不是就相当于刚开始n为2个圆盘，故此我们在调用一次函数即递归，代码实现便是move(b, a, c, n - 1);至此函数不断递归下去直到

n-1为1时函数结束！！！这便是递归解决汉诺塔问题了！！！

二、青蛙跳台

青蛙跳台阶问题是一个经典的数学问题，其内容为：一只青蛙一次可以跳上一级台阶或两级台阶，问青蛙从第n级台阶跳上第n+1级台阶，总共有多少种跳法。

下面看一下代码实现：

#include<stdio.h>
int dancestep(int n)
{
  if (n == 1)
  {
    return 1;//当只有一层台阶时有一种跳法
  }
  if (n == 2)
  {
    return 2;//当只有2层台阶时有两种跳法
  }
  if (n > 2)   //n大于二时进行递归运算
  {
    return dancestep(n - 1) + dancestep(n - 2);
  }
}
int main()
{
  int n = 0;
  scanf("%d", &n);
  int num = dancestep(n);
  printf("%d\n", num);
  return 0;
}

接下来我们进行分析：

假设青蛙从第n级台阶跳上第n+1级台阶的跳法数为f(n)，那么当它只跳一级时，就可以从第n-1级台阶跳上第n级台阶，此时跳法数为f(n-1)；当它一次跳两级时，就可以从第n-2级台阶跳上第n级台阶，此时跳法数为f(n-2)。

因此，我们可以得到递推公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

根据这个递推公式，我们可以依次计算出从第1级台阶到第n级台阶的所有跳法数。例如，当n=3时，有f(3)=f(2)+f(1)=2+1=3种跳法。

需要注意的是，青蛙跳台阶问题还有其他的变种，例如每次只能跳一级或者每次只能跳两级，但是其本质都是相同的，都可以使用递归的方法来解决。

注：递归虽然代码看着简便但n如果稍微大一点时电脑的计算次数的计算量却非常大

至于为什么看下图：

我们假设n=40由此我们看出当函数需要进行的计算量（n-1）^2，故此我们其实也可以用普通循环的方法来解决青蛙跳台阶的问题。下面展示代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
  int a=1, b=2,i,n,sum;
  scanf("%d", &n);
  if (n >= 3)
  {
    for (i = 1; i <= n - 2; i++)
    {
      sum = a + b;
      a = b;
      b = sum;
    }
  }
  else
  {
    sum = n;
  }
  printf("%d", sum);
  return 0;
}

这样计算的代码就不会在n较大时使函数的计算量成指数增长了！！！

好了各位今天的博客就结束了！！！