斐波那契数列（Fibonacci Sequence）
- 数学背景：斐波那契数列是一个数列，其中每个数字是前两个数字的和，通常形式为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
- 编程应用：在编程中，斐波那契数列常用于算法设计，如动态规划、递归等，也用于解决实际问题，如最优股票买卖策略。
素数问题（Prime Numbers）
- 数学背景：素数是只能被1和它本身整除的大于1的自然数。
- 编程应用：素数在密码学、算法优化（如埃拉托斯特尼筛法）和计算机安全中有重要应用。
图论问题（Graph Theory）
- 数学背景：图论是数学的一个分支，研究图的结构和性质。
- 编程应用：图论在网络设计、社交网络分析、路径规划（如Dijkstra算法、A*搜索算法）等领域有广泛应用。
分治法（Divide and Conquer）
- 数学背景：分治法是一种算法设计范式，通过将问题分解为更小的子问题来解决。
- 编程应用：分治法在排序算法（如快速排序、归并排序）和搜索算法（如二分查找）中有广泛应用。
动态规划（Dynamic Programming）
- 数学背景：动态规划是一种通过将复杂问题分解为更简单的子问题来解决的方法，并通过存储这些子问题的解来避免重复计算。
- 编程应用：动态规划在解决最优化问题（如背包问题、最长公共子序列）中有广泛应用。
递归（Recursion）
- 数学背景：递归是一种在数学和编程中常用的方法，通过函数自己调用来解决问题。
- 编程应用：递归在解决树结构问题（如二叉树遍历）、分形图形生成等领域有广泛应用。
贪心算法（Greedy Algorithms）
- 数学背景：贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优的选择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
- 编程应用：贪心算法在资源分配问题（如霍夫曼编码）、最小生成树（如Kruskal算法）中有应用。
汉诺塔问题（Tower of Hanoi）
- 问题描述：有三根柱子和不同大小的圆盘，需要将所有圆盘从一个柱子移动到另一个柱子，每次只能移动一个圆盘，且大圆盘不能放在小圆盘上面。
- 解决方案：递归算法。
Collatz猜想（3n+1问题）
- 问题描述：对于任意正整数n，如果n是偶数，则n除以2；如果n是奇数，则n乘以3再加1。重复这个过程，最终会达到数字1。
- 解决方案：迭代过程。
N皇后问题
- 问题描述：在n×n的棋盘上放置n个皇后，使得它们互不攻击（即任意两个皇后不在同一行、同一列或同一斜线上）。
- 解决方案：回溯算法。
骑士巡逻问题（Knight's Tour）
- 问题描述：一个国际象棋中的骑士在一个棋盘上移动，需要访问每一个方格恰好一次。
- 解决方案：回溯算法。
魔方问题
- 问题描述：通过旋转魔方的各个面，使得每一面的颜色都一致。
- 解决方案：群论和算法。
图的哈密顿路径问题
- 问题描述：在图中找到一个路径，该路径恰好访问每个顶点一次。
- 解决方案：回溯算法或动态规划。
最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）
- 问题描述：在给定的数列中找到一个最长的递增子序列。
- 解决方案：动态规划。
最小生成树（Minimum Spanning Tree）
- 问题描述：在一个加权图中找到一个生成树，使得树中所有边的权重之和最小。
- 解决方案：Kruskal算法或Prim算法。
最短路径问题
- 问题描述：在加权图中找到从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
- 解决方案：Dijkstra算法或Bellman-Ford算法。
最大流问题
- 问题描述：在一个网络中，找到从一个源点到一个汇点的最大可能流量。
- 解决方案：Ford-Fulkerson算法。
```js
- from collections import defaultdict, deque
class Graph:
def init(self, V):
self.V = V
self.graph = defaultdict(list)
def addEdge(self, u, v, w):
self.graph[u].append((v, w))
self.graph[v].append((u, 0)) # 反向边的容量为0
def bfs(self, source, sink, parent):
visited = [False] * self.V
queue = deque()
queue.append(source)
visited[source] = True
while queue:
u = queue.popleft()
for v, w in self.graph[u]:
if not visited[v] and w > 0:
queue.append(v)
visited[v] = True
parent[v] = u
if v == sink:
return True
return False
def fordFulkerson(self, source, sink):
parent = [-1] * self.V
max_flow = 0
while self.bfs(source, sink, parent):
path_flow = float('Inf')
s = sink
while(s != source):
path_flow = min(path_flow, self.graph[parent[s]][s][1])
s = parent[s]
max_flow += path_flow
v = sink
while(v != source):
u = parent[v]
u Capacity = self.graph[u][v][1]
self.graph[u][v][1] -= path_flow
self.graph[v][u][1] += path_flow
v = parent[v]
return max_flow
Example usage:
g = Graph(6)
g.addEdge(0, 1, 20)
g.addEdge(0, 2, 20)
g.addEdge(1, 2, 10)
g.addEdge(1, 3, 30)
g.addEdge(2, 3, 20)
g.addEdge(3, 4, 20)
g.addEdge(1, 4, 10)
g.addEdge(2, 4, 20)
source = 0
sink = 5
print("The maximum possible flow is", g.fordFulkerson(source, sink))
```
