阅读时间：2023-11-29
1 介绍
年份：2021
作者：董高高，江苏大学数学科学学院
期刊： Proceedings of the National Academy of Sciences, 2021
引用量：51
这篇论文讨论了模块化相互作用网络的最佳韧性，其中不同的子网络以特定方式相互连接。当前的理论模型通常假定耦合是均匀的，但现实世界的系统具有多样的耦合模式。研究开发了两种框架来探讨这些网络的韧性，考虑确定性和随机耦合模式。研究发现存在一种最佳互连节点的比例，可以最大程度地提高系统的韧性，使其能够承受更多的破坏。文档强调了理解真实世界耦合模式的重要性，并基于这些模式优化系统设计的重要性。通过分析不同的耦合模式，该研究为优化系统韧性的努力提供了理论支持。这项研究对于通过考虑不同的耦合模式和增强系统抵御失败能力来设计和优化经济、社会和基础设施网络具有重要意义。
2 创新点
（1）提出了针对模块化相互作用网络的两种分析框架，考虑了确定性和随机耦合模式。
（2）发现不同耦合模式下存在一个最佳连接节点比例，最大化系统的韧性，使其能够更好地承受损坏。
（3）突出了理解真实世界耦合模式的重要性，以及优化系统设计以基于这些模式。
（4）通过分析不同的耦合模式，为优化系统韧性的努力提供了理论支持。
3 相关研究
目前缺乏对相互连接的网络以及具有相互连接的特定节点（相互连接节点）如何影响整体相互连接网络的韧性的精确理解。在相互连接的网络中，由于每个连接都有成本，更倾向于更优化地分配固定数量的连接。
本文提出了两个针对具有特定耦合模式的系统的框架，以研究它们的弹性。本文发现子网络之间的交互水平的最优值，可以最大化系统对故障的弹性。表明了考虑真实耦合模式和可能的优化对于设计具有韧性系统的必要性。
（1）耦合
耦合指的是不同子网络之间以特定方式相互连接的模式。传统的理论模型通常假定耦合是均匀的，但实际系统具有各种各样的耦合模式。研究开发了两种框架来探讨这些网络的韧性，考虑了确定性和随机的耦合模式。在网络中存在一种最佳的互连节点的比例，可以最大化系统的韧性，使其能够承受更多的损坏。
（2）耦合模式
论文中提到了两种不同的耦合模式：确定性耦合模式和随机耦合模式。
- 确定性耦合模式包括星型、树型等固定耦合模式，其中给定的子网络之间的连接是预先定义的。
- 随机耦合模式则包括随机正则(RR)模式、符合泊松分布的模式以及符合幂律分布的模式。
（1）生成函数
《Percolation on interacting networks.2009》提出了一个基于生成函数的数学框架，用于分析 l 个相互作用网络系统，推导了描述网络系统大规模连接启动的渗透阈值的精确表达式，并展示了该框架在实际系统中的应用。
（2）模块化之间的韧性
《Resilience of networks with community structure behaves as if under an external field.2018》这篇论文研究了具有社区结构的网络的韧性，发现社区间的互连类似于外部磁场对铁磁性-顺磁性自旋系统的影响。
《Critical tipping point distinguishing two types of transitions in modular network structures.2015》这篇论文研究了在模块化网络结构中连接节点的故障如何影响网络功能，并发现了关键节点的重要性。
《Generating function technique in complex networks.2015》这篇论文探讨了在复杂网络中使用生成函数技术，特别关注于树状网络。它探讨了复杂网络的结构和动态，提出了一种适用于研究网络结构和动态的理论方法，特别适用于树状网络。生成函数技术是一种用于树状随机网络渗透的均场方法，提供了对具有给定度分布的网络集合的平均行为的洞察。通过利用生成函数，该文档提供了一个框架来分析复杂网络中节点和链接的状态，深入了解网络连接性和动态。
《Resilience of networks formed of interdependent modular networks.2015》这篇论文研究了由相互依赖的模块化网络组成的网络的韧性。
4 算法
（1）介绍
本文提出两个分析框架，用于理解模块化相互作用网络的韧性，其中子网络之间的耦合模式不同，确定性耦合模式（如星状、树状等）和随机耦合模式（如随机正则模式、符合泊松分布的模式和符合幂律分布的模式）。对于所有这些不同的耦合模式，存在一个最佳耦合点。本文提出基于模块化相互作用网络（MIN）的模型，其中每个子网络与其他特定子网络相连。
该模型可以使用不同的耦合模式（A）整个网络的度分布（the degree distribution）遵循幂律分布，其中一些子网络连接到许多其他子网络，而大多数子网络只连接到少数其他子网络。 （B和C）度分布服从泊松分布（B）或幂律分布（C）。 （D）连接任意两个相连子网络的链接遵循某种交叉度分布，其中每个子网络中的一些预定义节点连接到另一个子网络中的称为交叉连接节点的节。
（2）生成函数数学模型
在该模型中，使用生成函数来研究网络的特性和行为，够系统地分析网络的拓扑结构，包括节点之间的连接方式，从而揭示网络中隐藏的规律和特点。通过生成函数，可以将度分布的信息整合成简洁的幂级数，从而可以用来计算巨型组件的大小、确定渗流阈值等关键参数。生成函数的应用使我们能够更好地理解网络的形成和演化过程，为优化系统设计和提高系统韧性提供了重要的理论基础。
其中ri代表子网络i中可以连接到其他子网络的节点的比例。Ps(ki)是每个子网络内的度分布，而Pc(kji)是子网络i和子网络j之间的互连程度分布。
| 变量 | 定义 |
|---|---|
| Ps(ki) | 具有度ki的节点在子网络i中的度分布 |
| Pc(kji) | 在子网络i和j之间具有度kji的节点的度分布 |
| Pu(K) | 在MIN系统中具有度K的子网络的度分布 |
| m | 子网络数量 |
| M | MIN系统中的链接数量 |
| Ni | 子网络i中的节点数量 |
| ˜N | 整个MIN系统中的节点数量, N˜ = m · Ni |
| ki | 子网络i中节点的平均内部度, 简化为ki = k, i = 1, . . . , m |
| kij | 子网络i和j之间节点的平均互联度，简化为kij = k¯, i, j = 1, . . . , m, 且 i ！= j |
| K | 随机耦合模式下子网络的平均度 |
| ˜K | 整个MIN系统中节点的平均度，K˜ = 2˜MN |
| λ | MIN遵循幂律耦合模式的幂律指数 |
| ri | 子网络i内部互联节点的比例，具有内部和外部连接，简化为r = r1 = r2 = · · · = rm |
| r∗ | 具有最小pc值的r值 |
| Si | 经历故障后子网络i中巨型组件的比例 |
| ¯S | 原始MIN系统中由顶点（子网络）组成的最大（巨型）组件的比例 |
| S | 经历故障后整个MIN系统中由节点组成的巨型组件的比例 |
在随机耦合模式下，¯S是在整体巨大组件中保持与另一个子网络连接的子网络比例（这是基于Pu(K)确定的），而Si是巨大组件内每个子网络内的比例。Si由以下公式给出：
其中 fii和fji分别是在子网络i内随机选择的内部链接和子网络i和j之间的互连链接不属于MIN巨大组件的概率。
5 实验分析
（1）确定性耦合之星型耦合
耦合子网络间的性质由预定义具有互联链接的节点比例r控制。随着r从接近0逐渐增加到约0.2，pc（第二大分量大小的最大值处的位置）逐渐变小，系统变得更具韧性。在r增加到最佳过渡值r*时，系统达到最小pc，即最具韧性以抵御随机失效或扰动。当r进一步增加时，系统变得更易受到影响，因为pc增加。
（2）确定性耦合之二叉树耦合
在不同条件下，如r*随着m的增加而减小，随着 ˜ K的增加而增加，随着¯k的增加而减小。这些结果表明，随着系统韧性的增加，对于固定的条件，pc会变小。
（3）基于随机耦合的耦合模式
分别探讨了RR、Poisson和power-law耦合模式的系统韧性。考虑了三种不同的网络连接模式，分别是随机连接、指数连接和幂律连接。分析结果表明，在不同参数条件下，这些网络连接模式下存在最优的转变点，通过调整耦合值可以实现网络的相变。研究结果展示了在不同网络连接模式下最优耦合值的变化规律。
6 思考
（1）这篇论文通过生成函数，仿真了不同网络的拓扑结构，包括子网络的随机连接方法，或者遵循某种分布的连接方式，说明了网络结构的耦合，存在一个最优值。
（2）没有看明白生成函数是如何去表示网络结构的，论文也没有说明白，为什么通过参数的变化就说明了存在了最优的耦合。这些参数值m、k、r为什么能够说明问题。pc值和r具有什么物理意义？
需要进一步去研究生成函数，参考论文《Percolation on interacting networks.2009》《Generating function technique in complex networks.2015》
（3）没有看明白实验分析过程。
