复杂度讲解-阿里云开发者社区

1. 算法效率

1.1 如何衡量一个算法的好坏

如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数列：

long long Fib(int N)
{
 if(N < 3)
 return 1;
 
 return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？

通过下面的学习，就能解答这个问题。

1.2 算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小，所以对空间复杂度很是在乎，但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度，所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

2. 时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，*算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知

道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个

分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为 算法的时间复杂度。

请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？

void Func1(int N)
{
  int count = 0;
  
  for (int i = 0; i < N ; ++ i)
  {
    for (int j = 0; j < N ; ++ j)
    {
      ++count;
    }
  }
 
  for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
  {
    ++count;
  }
  
  int M = 10;
  
  while (M--)
  {
    ++count;
  }
  
  printf("%d\n", count);
}

Func1 执行的基本操作次数：F(N) = N^2 + 2*N + 10

N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

2.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N^2)

N = 10 F(N) = 100
N = 100 F(N) = 10000
N = 1000 F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

2.3 常见时间复杂度计算举例

实例1：

//计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
  int count = 0;
  
  for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
  {
    ++count;
  }
  
  int M = 10;
  
  while (M--)
  {
    ++count;
  }
  
  printf("%d\n", count);
}

基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

实例2:

//计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
  int count = 0;
  
  for (int k = 0; k < M; ++ k)
  {
    ++count;
  }
  
  for (int k = 0; k < N ; ++ k)
  {
    ++count;
  }
  
  printf("%d\n", count);
}

基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)

实例3:

//计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
  int count = 0;
  
  for (int k = 0; k < 100; ++ k)
  {
    ++count;
  }
  
  printf("%d\n", count);
}

基本操作执行了10次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)

注： O(1)并不是代表1次，代表常数次

实例4:

//计算strchr的时间复杂度？
const char* strchr(const char* str, int character);

这个函数是在一个字符串中查找一个字符。

基本操作执行最好1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N)

实例5:

//计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
  assert(a);
  
  for (size_t end = n; end > 0; --end)
  {
    int exchange = 0;
    
    for (size_t i = 1; i < end; ++i)
    {
      if (a[i-1] > a[i])
      {
        Swap(&a[i-1], &a[i]);
        exchange = 1;
      }
    }
    
    if (exchange == 0)
      break;
  }
}

基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N-1)/2次，通过推导大O阶方法 + 时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)

实例6:

//计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
  assert(a);
  int begin = 0;
  int end = n-1;
  //[begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
  while (begin <= end)
  {
    int mid = begin + ((end-begin)>>1);
    
    if (a[mid] < x)
      begin = mid+1;
    else if (a[mid] > x)
      end = mid-1;
    else
      return mid;
  }
  
  return -1;
}

基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN)

注： O(logN) 是和O(1) 接近，而不是和O(N)接近。从时间复杂度的角度看，二分查找很厉害，比如：10亿个数最多只要找30次，但是实践中不太行，原因有两点：一是要先排序（这一点不是最大的问题），二是有插入和删除才是最麻烦的。所以我们以后还要学这样的几个结构来做查找：搜索树->红黑树 AVL树 B数系列（它们可以做到O(logN)）还有哈希（它甚至可以做到O(1)）

实例7:

//计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
  if(0 == N)
    return 1;
  return Fac(N-1)*N;
}

基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。

变形一下：

实例8:

//计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
  if(N < 3)
    return 1;
 
  return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。

3. 空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意： 函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

实例1：

//计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
  assert(a);
  
  for (size_t end = n; end > 0; --end)
  {
    int exchange = 0;
    
    for (size_t i = 1; i < end; ++i)
    {
      if (a[i-1] > a[i])
      {
        Swap(&a[i-1], &a[i]);
        exchange = 1;
      }
    }
    
    if (exchange == 0)
      break;
  }
}

实例1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

注：

空间是可以重复利用的；时间是累加，一去不复返。
空间复杂度算的是因为算法的需要，额外开的空间。

实例2:

//计算Fibonacci的空间复杂度？
//返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
  if(n==0)
    return NULL;
  long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
  fibArray[0] = 0;
  fibArray[1] = 1;
  
  for (int i = 2; i <= n ; ++i)
  {
    fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
  }
  
  return fibArray;
}

实例2动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)

实例3：

//计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
  if(N == 0)
    return 1;
  return Fac(N-1)*N;
}

实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间，空间复杂度为O(N)

补充：

时间复杂度中的实例8算空间复杂度：

4. 复杂度的oj练习

4.1 消失的数字

思路2：

int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{
  int x = 0;
  int n = numsSize;
  //[0,n]
  for (int i = 0; i <= n; ++i)
  {
    x ^= i;
  }
  for (int j = 0; j < numsSize; ++j)
  {
    x ^= nums[j];
  }
  return x;
}

思路3：

int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{
  int n = numsSize;
  int ret = (n + 0) * (n + 1) / 2;
  
  for (int i = 0; i < numsSize; ++i)
  {
    ret -= nums[i];
  }
  return ret;
}

4.2 旋转数组

思路二：

//[left, right]
void Reverse(int* a, int left, int right)
{
  while (left < right)
  {
    int tmp = a[left];
    a[left] = a[right];
    a[right] = tmp;
    ++left;
    --right;
  }
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{
  k %= numsSize;
  //[0, numsSize-k-1]
  Reverse(nums, 0, numsSize - k - 1);
  //[numsSize-k, numsSize-1]
  Reverse(nums, numsSize - k, numsSize - 1);
  //[0, numsSize-1]
  Reverse(nums, 0, numsSize - 1);
}

思路三：

#include <string.h>
void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{
  k %= numsSize;
  int tmp[numsSize];
  int n = numsSize;
  memcpy(tmp, nums + n - k, sizeof(int) * k);
  memcpy(tmp + k, nums, sizeof(int) * (n - k));
  memcpy(nums, tmp, sizeof(int) * n);
}

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