95% 的算法都是基于这 6 种算法思想
在计算机科学和数据科学的世界里，算法无处不在。无论是简单的排序问题，还是复杂的机器学习模型，背后都有基本的算法思想在支撑。事实上，很多算法都可以归类到几个核心思想中。今天，我们就来探讨六种基本的算法思想，这些思想覆盖了大多数常见的算法。
1. 递归算法（Recursion）
1.1 策略思想
递归是一种直接或间接调用自身的算法思想。它通过将问题分解为规模更小的相同问题来求解。递归函数通常包含基准情形（base case）和递归情形（recursive case）。
1.2 优缺点
优点：
- 代码简洁、易于理解。
- 自然地解决问题，如树和图的遍历。
缺点：
- 存在栈溢出风险（当递归深度过大时）。
- 可能导致较高的时间和空间复杂度（若重复计算相同子问题）。
1.3 使用场景
- 处理具有递归性质的问题，如树结构、分形图形等。
- 解决问题可以通过将其分解为子问题来完成，如归并排序、快速排序等。
1.4 解题思路步骤
- 定义问题：将问题分解为更小的子问题。
- 基准情形：找出问题最小的不可再分解的情形。
- 递归情形：定义如何通过解决更小的子问题来解决当前问题。
步骤：
- 第一步：明确你这个函数的输入输出，先不管函数里面的代码什么，而是要先明白，你这个函数的输入是什么，输出为何什么，功能是什么，要完成什么样的一件事。
- 第二步：寻找递归结束条件，我们需要找出什么时候递归结束，之后直接把结果返回
- 第三步：明确递归关系式，怎么通过各种递归调用来组合解决当前问题
1.5 经典案例
- 斐波那契数列：
F(n) = F(n-1) + F(n-2)，基准情形为F(0) = 0和F(1) = 1。
- 汉诺塔问题：通过递归移动盘子，解决塔之间的转移。
2. 分治法（Divide and Conquer）
2.1 策略思想
分治法是一种将复杂问题分解为更小、更容易解决的问题的策略。该方法包括三个步骤：分解、解决和合并。
2.2 优缺点
优点：
- 减少时间复杂度，特别是在排序和搜索问题中。
- 适合并行计算。
缺点：
- 递归过程可能导致较大的递归栈空间。
- 不适用于所有问题，特别是不能自然分解的问题。
2.3 使用场景
- 排序算法，如归并排序、快速排序。
- 数值问题，如快速傅里叶变换（FFT）。
2.4 解题思路步骤
- 分解：将问题分解为若干子问题。
- 解决：递归地解决每个子问题。
- 合并：将子问题的解合并得到原问题的解。
经典案例
- 归并排序：将数组分成两半，分别排序后合并。
- 快速排序：选择一个基准元素，将数组分成小于基准和大于基准的两部分，然后递归排序。
具体示例：全排列（分治）
3. 贪心算法（Greedy Algorithm）
3.1 策略思想
贪心算法通过在每一步选择当前最优解，从而希望达到全局最优解。这种方法通常较为简单，且在某些问题上能提供最优解。
3.2 优缺点
优点：
- 解决问题快速且简单。
- 对某些问题能提供最优解。
缺点：
- 不保证全局最优解，特别是在复杂问题中。
- 需要问题具有贪心选择性质和最优子结构性质。
3.3 使用场景
- 图算法，如最小生成树（Kruskal 算法、Prim 算法）。
- 资源分配问题，如活动选择问题、硬币问题。
解题思路步骤
- 选择标准：确定贪心选择的标准。
- 贪心选择：在每一步选择当前最优解。
- 构造解：逐步构造最终解。
经典案例
- Kruskal 算法：选择最小的边，逐步构造最小生成树。
- 活动选择问题：选择最早结束的活动，确保选择最多的活动。
示例：Dijkstra最短路径
4. 回溯算法（Backtracking）
4.1 策略思想
回溯算法是一种系统地搜索问题的所有可能解的算法，通过递归地构建解，并在发现某个部分解不可行时回溯。其核心思想是试探和回退。
4.2 优缺点
优点：
- 能找到问题的所有解。
- 适用于约束满足问题。
缺点：
- 时间复杂度高，可能导致指数级别的计算。
- 效率低，尤其在解空间大的情况下。
4.3 使用场景
- 组合优化问题，如排列和组合。
- 约束满足问题，如数独、N 皇后问题。
4.4 解题思路步骤
- 构造解空间：定义问题的解空间。
- 搜索解空间：递归地搜索解空间的每个可能解。
- 回溯：当某个部分解不可行时，回溯到上一步。
4.5 经典案例
- N 皇后问题：在 N×N 的棋盘上放置 N 个皇后，使其互不攻击。
- 数独求解：通过递归和回溯找到数独的解。
5. 动态规划（Dynamic Programming）
5.1 策略思想
动态规划是一种通过将问题分解为子问题，并利用子问题的重叠性质来减少计算量的算法思想。其核心是使用记忆化或表格来存储中间结果，从而避免重复计算。
5.2 优缺点
优点：
- 高效地解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
- 通过表格存储中间结果，避免重复计算。
缺点：
- 存储大量中间结果，可能消耗大量空间。
- 需要问题具有明确的子问题结构。
5.3 使用场景
- 最优化问题，如背包问题、最短路径问题。
- 序列问题，如最长公共子序列、最长递增子序列。
5.4 解题思路步骤
- 定义子问题：将问题分解为子问题。
- 存储中间结果：使用数组或表格存储子问题的解。
- 构造最优解：从子问题的解逐步构造出原问题的最优解。
5.5 经典案例
- 斐波那契数列：通过保存中间计算结果避免指数级别的递归调用。
- 最长公共子序列（LCS）：通过构建表格存储子问题的结果，从而找到两个序列的最长公共子序列。
示例: 0-1背包问题（Java详解）（动态规划）至少与恰好
6. 枚举法（Enumeration）
6.1 策略思想
枚举法通过遍历问题的所有可能解来找到最优解。其核心思想是穷举所有可能情况，从而找到问题的解。
6.2 优缺点
优点：
- 简单易懂，适用于小规模问题。
- 能找到问题的精确解。
缺点：
- 时间复杂度高，可能导致指数级别的计算。
- 不适用于大规模问题。
6.3 使用场景
- 小规模优化问题。
- 需要找到所有可能解的问题。
6.4 解题思路步骤
- 定义解空间：确定问题的所有可能解。
- 遍历解空间：穷举所有可能情况。
- 选择最优解：从所有可能解中选择最优解。
6.5 经典案例
- 排列组合问题：生成所有排列或组合。
- 旅行商问题（小规模）：穷举所有路径，找到最短路径。
结语
尽管现代算法种类繁多，应用领域广泛，但大多数算法都可以归结为上述六种基本思想之一。理解这些核心思想，不仅能帮助我们更好地设计和分析算法，还能更有效地解决实际问题。无论你是算法初学者，还是经验丰富的工程师，掌握这些基本思想都将大有裨益。
