矩阵的定义
由 
个数 
排成的m行n列的数表，称为m行n列的矩阵，简称 
矩阵，记作：
简记为： 
这 
个数 
称为矩阵A的（第i行第j列）元素.
矩阵只是由数字排列成的一个表格，其本身不包含任何运算规则
- 行矩阵：只有一行
- 列矩阵：只有一列
- 负矩阵：所有元素取负数
- 方阵：行数和列数相等
- 单位阵：主对角线全为 1 ，其余元素全为 0 ，记为 E
- 同型矩阵：两矩阵行与列数 一致
矩阵的运算
相加
两个同型的矩阵才能进行相加，设两个 
矩阵 
与 
，那A与B的和定义为 
，记作A+B，即
对应元素相加
相乘
矩阵的乘积要牢记这个式子：
也就是相乘的两个矩阵中，要有一方的列数等于另一方的行数 。
注意：
- 矩阵运算中，
；
，不能推出
；
不能推出
数乘
这个数乘矩阵的所有元素
与单位阵相乘
矩阵的幂
共K个，特别地， 
转置
与行列式的定义是一致的。
-
（重点，顺序不能对换） -
-
-
（A的转置的值等于A的值） -
（重点） -
特殊矩阵
数量矩阵
主对角线全为a，其余元素为0，则 
数量矩阵（是方阵）用于伸缩变化，是特殊的对角型矩阵对角型矩阵（也是方阵）可以记作
左乘数量矩阵是对行做伸缩变换，右乘是对列做伸缩变换.
对称矩阵
是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵，例如：
对称矩阵的转置等于其自身，即：
定理： 假如A，B 是对称矩阵，且AB也对称，则AB可交换
证明： 
反对称矩阵
主对角线全为0，有 
伴随矩阵
针对方阵，求伴随矩阵的步骤：
- 求所有元素的代数余子式
- 将代数余子式的行按列排放；
这两步构成的矩阵，就是伴随矩阵，记为 
性质： 对任意方阵： 
注意：
矩阵提公因子是提所有行，行列式提公因子是提一行
两边同时取行列式,可得
只有一个元素的伴随矩阵为1
逆矩阵
对于A的n阶方阵，存在n阶方阵B， 
- 未必所有的方阵都可逆
- 如果方阵可逆，则逆矩阵唯一
如何判断可逆，如何求？
如果
，称这个矩阵为非奇异、满秩矩阵，该矩阵可逆 。
定理 ：A可逆的充要条件 
， 
相关概念：奇异矩阵 和秩
如果一个矩阵的行列式等于零，则该矩阵被称为奇异矩阵。
非零子式的最高阶数就叫做秩，例如：
该矩阵的秩就为2，矩阵A的秩用 
或 
来表示。
初等变换
初等行变换、初等列变换（本质：对矩阵的一种变化，用箭头表示变换过程，不能用等号）
- 两行交换
- k（不为0）乘以某一行
- 某行k倍加到另一行
定理： 任给一个矩阵，都可以通过初等变化为标准型。
标准形矩阵：每个非零行的第一个非零元素为1，每个非零行的第一个非零元素所在列的其他元素全为零，则是最简形矩阵。
等价： 由矩阵A初等变换为B，叫即，A等价于B
等价有自反性，对称性，传递性.
初等变化不改变矩阵的秩。
END
