线性代数——（期末突击）矩阵（上）-概念篇（矩阵的定义、矩阵的运算、特殊矩阵、初等变换）

矩阵的定义

由 个数 排成的m行n列的数表，称为m行n列的矩阵，简称 矩阵，记作：

简记为：

这 个数 称为矩阵A的（第i行第j列）元素.

矩阵只是由数字排列成的一个表格，其本身不包含任何运算规则

• 行矩阵：只有一行
• 列矩阵：只有一列
• 负矩阵：所有元素取负数
• 方阵：行数和列数相等
• 单位阵：主对角线全为 1 ，其余元素全为 0 ，记为 E
• 同型矩阵：两矩阵行与列数 一致

矩阵的运算

相加

两个同型的矩阵才能进行相加，设两个 矩阵 与 ，那A与B的和定义为 ，记作A+B，即

对应元素相加

相乘

矩阵的乘积要牢记这个式子：

也就是相乘的两个矩阵中，要有一方的列数等于另一方的行数 。

注意：

• 矩阵运算中， ；
• ，不能推出 ；
• 不能推出

数乘

这个数乘矩阵的所有元素

与单位阵相乘

矩阵的幂

共K个，特别地，

转置

与行列式的定义是一致的。

1.  （重点，顺序不能对换）
2. 
3. 
4.  （A的转置的值等于A的值）
5. （重点）
6. 

特殊矩阵

数量矩阵

主对角线全为a，其余元素为0，则

数量矩阵（是方阵）用于伸缩变化，是特殊的对角型矩阵对角型矩阵（也是方阵）可以记作

左乘数量矩阵是对行做伸缩变换，右乘是对列做伸缩变换.

对称矩阵

是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵，例如：

对称矩阵的转置等于其自身，即：

定理： 假如A，B 是对称矩阵，且AB也对称，则AB可交换

证明：

反对称矩阵

主对角线全为0，有

伴随矩阵

针对方阵，求伴随矩阵的步骤：

1. 求所有元素的代数余子式
2. 将代数余子式的行按列排放；

这两步构成的矩阵，就是伴随矩阵，记为

性质： 对任意方阵：

注意：

矩阵提公因子是提所有行，行列式提公因子是提一行

两边同时取行列式,可得

只有一个元素的伴随矩阵为1

逆矩阵

对于A的n阶方阵，存在n阶方阵B，

1. 未必所有的方阵都可逆
2. 如果方阵可逆，则逆矩阵唯一

如何判断可逆，如何求？

如果 ，称这个矩阵为非奇异、满秩矩阵，该矩阵可逆 。

定理 ：A可逆的充要条件 ，

相关概念：奇异矩阵 和秩

如果一个矩阵的行列式等于零，则该矩阵被称为奇异矩阵。

非零子式的最高阶数就叫做秩，例如：

该矩阵的秩就为2，矩阵A的秩用 或 来表示。

初等变换

初等行变换、初等列变换（本质：对矩阵的一种变化，用箭头表示变换过程，不能用等号）

• 两行交换
• k（不为0）乘以某一行
• 某行k倍加到另一行

定理： 任给一个矩阵，都可以通过初等变化为标准型。

标准形矩阵：每个非零行的第一个非零元素为1，每个非零行的第一个非零元素所在列的其他元素全为零，则是最简形矩阵。

等价： 由矩阵A初等变换为B，叫即，A等价于B

等价有自反性，对称性，传递性.

初等变化不改变矩阵的秩。

END