1 目的
该篇文章主要展示针对时序进行ARIMA加法模型建模，并根据实际情况进行改进。案例数据同 时间序列分析实战（三）：时序因素分解法：某欧洲小镇1963年1月至1976年12月每月旅馆入住的房间数构成时间序列x t x_txt。
2 原序列差分处理
从 时间序列分析实战（三）：时序因素分解法一文中可知，该序列具有趋势和季节效应，进行1阶差分提取趋势效应，12步差分提取季节效应。
运行程序：
#对原数据进行1阶12步差分 y=diff(diff(data1,12)) plot(y,sub='图1 入住房间数差分后序列时序图')
运行结果：
图1 入住房间数差分后序列时序图
3 差分后序列平稳性检验
运行程序：
#差分后序列平稳性检验 library(aTSA) adf.test(y)
运行结果：
## Augmented Dickey-Fuller Test ## alternative: stationary ## ## Type 1: no drift no trend ## lag ADF p.value ## [1,] 0 -19.56 0.01 ## [2,] 1 -11.01 0.01 ## [3,] 2 -10.63 0.01 ## [4,] 3 -9.08 0.01 ## [5,] 4 -10.57 0.01 ## Type 2: with drift no trend ## lag ADF p.value ## [1,] 0 -19.50 0.01 ## [2,] 1 -10.98 0.01 ## [3,] 2 -10.60 0.01 ## [4,] 3 -9.05 0.01 ## [5,] 4 -10.53 0.01 ## Type 3: with drift and trend ## lag ADF p.value ## [1,] 0 -19.44 0.01 ## [2,] 1 -10.94 0.01 ## [3,] 2 -10.56 0.01 ## [4,] 3 -9.01 0.01 ## [5,] 4 -10.49 0.01 ## ---- ## Note: in fact, p.value = 0.01 means p.value <= 0.01
4 差分后序列白噪声检验
运行程序：
#差分后序列纯随机性检验 for(k in 1:2) print(Box.test(y,lag=6*k,type="Ljung-Box"))
运行结果：
## ## Box-Ljung test ## ## data: y ## X-squared = 56.87, df = 6, p-value = 1.941e-10 ## ## ## Box-Ljung test ## ## data: y ## X-squared = 76.751, df = 12, p-value = 1.713e-11
通过1阶12步差分后序列时序图(图1)显示差分后的序列没有明显趋势和周期特征了，ADF检验结果显示差分后序列平稳，纯随机性检验结果显示差分后序列为非白噪声序列，适合建模。
5 ARIMA模型建立
考虑建立ARIMA加法模型：
6 ARIMA模型定阶
运行程序：
par(mfrow=c(1,2)) acf(y) title(sub="图2 入住房间数差分后序列自相关图(ACF)") pacf(y) title(sub="图2 入住房间数差分后序列偏自相关图(PACF)")
运行结果：
图2 入住房间数差分后序列自相关图(ACF)（左）& 偏自相关图(PACF)（右）
差分后序列的自相关图和偏自相关图(图2)显示，自相关系数和偏自相关系数都显示出拖尾的性质。经过多次尝试之后，直到ARMA(1,6)，模型才通过了显著性检验，再考虑到之前的差分运算，实际上拟合的是加法模型：ARIMA(1,1,6)×(0,1,0)12
7 ARIMA模型拟合
运行程序：
#拟合加法ARIMA模型 fit2=arima(data1,order = c(1,1,6),seasonal = list(order=c(0,1,0),period=12),transform.pars = F) fit2
运行结果：
## ## Call: ## arima(x = data1, order = c(1, 1, 6), seasonal = list(order = c(0, 1, 0), period = 12), ## transform.pars = F) ## ## Coefficients: ## ar1 ma1 ma2 ma3 ma4 ma5 ma6 ## -0.3848 -0.5833 -0.5015 -0.2828 -0.0814 -0.0647 0.5148 ## s.e. 0.1739 0.1663 0.1787 0.0933 0.1072 0.0893 0.0941 ## ## sigma^2 estimated as 221.7: log likelihood = -645.52, aic = 1307.03
8 ARIMA模型显著性检验
运行程序：
#模型显著性检验 ts.diag(fit2) title(sub="图3 ARIMA(1,(1,12),6)模型显著性检验")
运行结果：
图3 ARIMA(1,(1,12),6)模型显著性检验
此时，参数θ 4 \theta_4θ4和θ 5 \theta_5θ5的估计值在两倍标准差外，未通过显著性检验，所以考虑拟合疏系数模型ARIMA(1,(1,2,3,6))，再考虑到之前的差分运算，实际上拟合的是加法模型ARIMA(1,1,(1,2,3,6))×(0,1,0)12
9 ARIMA加法疏系数模型
运行程序：
#拟合加法ARIMA模型 fit3=arima(data1,order = c(1,1,6),seasonal = list(order=c(0,1,0),period=12), transform.pars = F,fixed=c(NA,NA,NA,NA,0,0,NA)) fit3
运行结果：
## ## Call: ## arima(x = data1, order = c(1, 1, 6), seasonal = list(order = c(0, 1, 0), period = 12), ## transform.pars = F, fixed = c(NA, NA, NA, NA, 0, 0, NA)) ## ## Coefficients: ## ar1 ma1 ma2 ma3 ma4 ma5 ma6 ## -0.4201 -0.6015 -0.5797 -0.2909 0 0 0.4730 ## s.e. 0.1958 0.1918 0.2185 0.0997 0 0 0.0982 ## ## sigma^2 estimated as 211.5: log likelihood = -646.01, aic = 1304.02
10 ARIMA加法疏系数模型显著性检验
运行程序：
#模型显著性检验 ts.diag(fit3) title(sub="图4 ARIMA(1,(1,12),(1,2,3,6))模型显著性检验")
运行结果：
图4 ARIMA(1,(1,12),(1,2,3,6))模型显著性检验
