【视频】马尔可夫链蒙特卡罗方法MCMC原理与R语言实现|数据分享（上）：https://developer.aliyun.com/article/1498546

将x轴转换为对数坐标并显示另外30个随机方法：

可以从您的一系列采样点中抽取样本分位数。

这是分析计算的点，其概率密度的2.5％低于：

p<-0.025a.true<-qnorm(p,m,s)a.true1## \[1\] -1.96

我们可以通过在这种情况下的直接整合来估计这个

aion(x)dnorm(x,m,s)
g<-function(a)integrate(f,-Inf,a)$valuea.int<-uniroot(function(x)g(a10,0))$roota.int1## \[1\] -1.96

并用Monte Carlo积分估计点：

a.mc<-unnasamples,p))a.mc## \[1\] -2.023a.true-a.mc## \[1\] 0.06329

但是，在样本量趋于无穷大的极限内，这将会收敛。此外，有可能就错误的性质作出陈述; 如果我们重复采样过程100次，那么我们得到一系列与均值附近的误差相同幅度的误差的估计：

a.mc<-replicate(anorm(10000,m,s),p))
summary(a.true-a.mc)
## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. ## -0.05840 -0.01640 -0.00572 -0.00024 0.01400 0.07880

这种事情真的很常见。在大多数贝叶斯推理中，后验分布是一些（可能很大的）参数向量的函数，您想对这些参数的子集进行推理。

在一个等级模型中，你可能会有大量的随机效应项被拟合，但是你最想对一个参数做出推论。在

贝叶斯框架中，您可以计算您感兴趣的参数在所有其他参数上的边际分布（这是我们上面要做的）。

为什么“传统统计”不使用蒙特卡洛方法？

对于传统教学统计中的许多问题，不是从分布中抽样，可以使函数最大化或最大化。所以我们需要一些函数来描述可能性并使其最大化（最大似然推理），或者一些计算平方和并使其最小化的函数。

然而，蒙特卡罗方法在贝叶斯统计中的作用与频率统计中的优化程序相同，这只是执行推理的算法。所以，一旦你基本知道MCMC正在做什么，你可以像大多数人把他们的优化程序当作黑匣子一样对待它，像一个黑匣子。

马尔可夫链蒙特卡罗

假设我们想要抽取一些目标分布，但是我们不能像从前那样抽取独立样本。有一个使用马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）来做这个的解决方案。首先，我们必须定义一些事情，以便下一句话是有道理的：我们要做的是试图构造一个马尔科夫链，它抽样的目标分布作为它的平稳分布。

定义

假设我们有一个三态马尔科夫过程。让我们P为链中的转移概率矩阵：

P<-rbind(a(.2,.1,.7),c(.25,.25,.5))P ## \[,1\] \[,2\] \[,3\]## \[1,\] 0.50 0.25 0.25## \[2,\] 0.20 0.10 0.70## \[3,\] 0.25 0.25 0.50 rowSums(P)
 ## \[1\] 1 1 1

P[i,j]给出了从状态i到状态的概率j。

请注意，与行不同，列不一定总和为1：

colSums(P)
 ## \[1\] 0.95 0.60 1.45

这个函数采用一个状态向量x（其中x[i]是处于状态的概率i），并通过将其与转移矩阵相乘来迭代它P，使系统前进到n步骤。

iterate.P<-function(x,P,n){
res<-matrix(NA,n+1,len
a<-xfor(iinseq_len(n))
res\[i+1,\]<-x<-x%*%P 
res}

从处于状态1的系统开始（x向量 [1,0,0] 也是如此，表示处于状态1的概率为100％，不处于任何其他状态）

同样，对于另外两种可能的起始状态：

y2<-iterate.P(c(0,1,0),P,n)y3<-iterate.P(c(0,0,1),P,n)

这表明了平稳分布的收敛性。

ma=1,xlab="Step",ylab="y",las=1)matlines(0:n,y2,lty=2)matlines(0:n,y3,lty=3)

我们可以使用R的eigen函数来提取系统的主要特征向量（t()这里转置矩阵以便得到左特征向量）。

v<-eigen(t(P)
ars\[,1\]
v<-v/sum(v)# 归一化特征向量

然后在之前的数字上加上点，表明我们有多接近收敛：

matplot(0:n,y1a3,lty=3)points(rep(10,3),v,col=1:3)

上面的过程迭代了不同状态的总体概率; 而不是通过系统的实际转换。所以，让我们迭代系统，而不是概率向量。

run<-function(i,P,n){
res<-integer(n)for(a(n))
res\[\[t\]\]<-i<-sample(nrow(P),1,pr=P\[i,\]) 
res}

这链条运行了100个步骤：

samples<-run(1,P,100)ploaes,type="s",xlab="Step",ylab="State",las=1)

绘制我们在每个状态随时间变化的时间分数，而不是绘制状态：

plot(cummean(samplesa2)lines(cummean(samples==3),col=3)

再运行一下（5000步）

n<-5000set.seed(1)
samples<-run(1,P,n)plot(cummeanasamples==2),col=2)lines(cummean(samples==3),col=3)abline(h=v,lty=2,col=1:3)

所以这里的关键是：马尔可夫链有一些不错的属性。马尔可夫链有固定的分布，如果我们运行它们足够长的时间，我们可以看看链条在哪里花费时间，并对该平稳分布进行合理的估计。

Metropolis算法

这是最简单的MCMC算法。

MCMC采样1d（单参数）问题

这是两个正态分布的加权和。这种分布相当简单，可以从MCMC中抽取样本。

这里是一些参数和目标密度的定义。

p<-0.4ma1,2)sd<-c(.5,2)f<-function(x)p\*dnora\],sd\[1\])+(1-p)\*dnorm(x,mu\[2\],sd\[2\])

概率密度绘制

我们来定义一个非常简单的算法，该算法从以当前点为中心的标准偏差为4的正态分布中抽样

而这只需要运行MCMC的几个步骤。它将从点x返回一个矩阵，其nsteps行数和列数与x元素的列数相同。如果在标量上运行， x它将返回一个向量。

run<-funagth(x))for(iinseq_len(nsteps))
res\[i,\]<-x<-step(x,f,q)drop(res)}

这里是马尔可夫链的前1000步，目标密度在右边：

layout(matrix(ca,type="s",xpd=NA,ylab="Parameter",xlab="Sample",las=1)
usr<-par("usr")
xx<-seq(usr\[a4\],length=301)plot(f(xx),xx,type="l",yaxs="i",axes=FALSE,xlab="")

hist(res,5aALSE,main="",ylim=c(0,.4),las=1,xlab="x",ylab="Probability density")
z<-integrate(f,-Inf,Inf)$valuecurve(f(x)/z,add=TRUE,col="red",n=200)

运行更长时间，结果开始看起来更好：

res.long<-run(-10,f,q,50000)hist(res.long,100,freq=FALSE,main="",ylim=c(0,.4),las=1,xlab

现在，运行不同的方案 - 一个标准差很大（33），另一个标准差很小（3）。

res.fast<-run(-10action(x)rnorm(1,x,33),1000)res.slow<-run(-10,f,functanorm(1,x,.3),1000)

注意三条轨迹正在移动的不同方式。

相反，红色的痕迹拒绝其中的大部分空间。

蓝色的踪迹提出了倾向于被接受的小动作，但是它随着大部分的轨迹随机行走。它需要数百次迭代才能达到概率密度的大部分。

您可以在随后的参数中看到不同方案步骤在自相关中的效果 - 这些图显示了不同滞后步骤之间自相关系数的衰减，蓝线表示统计独立性。

par(mfrow=c(1,3ain="Intermediate")acf(res.fast,las=1,m

由此可以计算独立样本的有效数量：

1coda::effectiveSize(res)1 2## var1 ## 1871coda::effectiveSize(res.fast)1 2## var1 ## 33.191coda::effectiveSize(res.slow)1 2## var1 ## 5.378

这更清楚地显示了链条运行时间更长的情况：

naun(-10,f,q,n))
xlim<-range(sapply(saa100)
hh<-lapply(samples,function(x)hist(x,br,plot=FALSE))
ylim<-c(0,max(f(xx)))

显示100,1,000,10,000和100,000步：

for(hinhh){plot(h,main="",freq=a=300)}

MCMC在两个维度

给出了一个多元正态密度，给定一个均值向量（分布的中心）和方差 - 协方差矩阵。

make.mvn<-function(mean,vcv){
logdet<-as.numeric(detea+logdet
vcv.i<-solve(vcv)function(x){
dx<-x-meanexp(-(tmp+rowSums((dx%*%vcv.i)*dx))/2)}}

如上所述，将目标密度定义为两个mvns的总和（这次未加权）：

mu1<-c(-1,1)mu2<-c(2,-2)vcv1<-ma5,.25,1.5),2,2)vcv2<-matrix(c(2,-.5,-.5,2aunctioax)+f2(x)x<-seq(-5,6,length=71)y<-seq(-7,6,lena-expand.grid(x=x,y=y)z<-matrix(aaTRUE)

从多元正态分布取样也相当简单，但我们将使用MCMC从中抽取样本。

这里有一些不同的策略 - 我们可以同时在两个维度上提出动作，或者我们可以独立地沿着每个轴进行采样。这两种策略都能奏效，虽然它们的混合速度会有所不同。

假设我们实际上并不知道如何从mvn中抽样 ，让我们提出一个在两个维度上一致的提案分布，从每边的宽度为“d”的正方形取样。

比较抽样分布与已知分布：

例如，参数1 的边际分布是多少？

hisales\[,1\],freq=FALSa",xlab="x",ylab="Probability density")

我们需要整合第一个参数的第二个参数的所有可能值。那么，因为目标函数本身并不是标准化的，所以我们必须将其分解为一维积分值 。

m<-function(x1){
g<-Vectorize(function(x2)f(c(x1,ae(g,-Inf,Inf)$value}
xx<-seq(mina\]),max(sales\[,1\]),length=201)
yy<-s
uehist(samples\[,1\],freq=FALSE,ma,0.25))lines(xx,yy/z,col="red")