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极值理论对样本尾部分布的极值指数的估计方法主要有两类:半参数方法和全 参数方法,前者主要是基于分布尾部的 Hill 估计量,后者则主要基于广义帕累托分布。
尾部指数的希尔HILL统计量估计。更具体地说,我们看到如果 , 和 ,然后希尔HILL估计为
。然后 在某种意义上满足某种一致性 ,如果 ,即 (在收敛速度的附加假设下, )。此外,在附加的技术条件下
为了说明这一点,请考虑以下代码。首先,让我们考虑一个帕累托生存函数,以及相关的分位数函数
> Q=fuction(p){unro(funion(x) S(x)-(1-p),loer=1,per=1e+9)$root}
我们将考虑更复杂的生存函数。这是生存函数和分位数函数,
> plot(u,Veie(Q)(u),type="l")
在这里,我们需要 分位数函数从这个分布中生成一个随机样本,
> X=Vectorize(Q)(runif(n))
hill统计量在这里
> abline(h=alpha)
我们现在可以生成数千个随机样本,并查看这些估计器(对于某些特定的k)。
> for(s in 1:ns){ + X=Vectorize + H=hill + hilk=function(k) + HilK\[s,\]=Vectorize + }
如果我们计算平均值,
> plot(15*(1:10),apply(2,mean)
我们得到了一系列可以被认为是无偏的估计量。
现在,回想一下,处于 Fréchet 分布并不意味着 , 和 , 但意味着
对于一些缓慢变化的函数 ,不一定恒定!为了了解可能发生的情况,我们必须稍微具体一些。这只能通过查看生存函数的性质。假设,这里有一些辅助函数
这个(正)常数 以某种方式与生存函数与幂函数之比的收敛速度有关。
更具体地说,假设
然后,使用获得二阶正则变化性质 ,然后,如果 趋向于无穷大太快,那么估计就会有偏差。 如果 ,那么,对于一些 ,
这个结果的直观解释是,如果 太大,并且如果基础分布不_完全_ 是帕累托分布,那么希尔估计量是有偏的。这就是我们所说的意思
- 如果 太大, 是有偏估计量
- 如果 太小, 是一个不稳定的估计量
(后者来自样本均值的属性:观察越多,均值的波动性越小)。
让我们运行一些模拟以更好地了解正在发生的事情。使用前面的代码,生成具有生存函数的随机样本实际上是极其简单的
> Q=function(p){uniroot(function(x) S(x)-(1-p)}
如果我们使用上面的代码。
希尔hill变成
> abline(h=alpha)
但它仅基于一个样本。再次考虑数千个样本,让我们看看 Hill 统计量如何,
所以这些估计量的(经验)平均值是