主要优化方法的快速概述
我们介绍主要的优化方法。我们考虑以下问题 
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无导数优化方法
Nelder-Mead方法是最著名的无导数方法之一，它只使用f的值来搜索最小值。过程：
- 设置初始点x1,...,xn+1
- 对点进行排序，使得f(x1)≤f(x2)≤⋯≤f(xn+1)。
- 计算xo作为x1,...,xn的中心点。
- 反射
- 计算反射点xr=xo+α（xo-xn+1）。
- 如果f(x1)≤f(xr)<f(xn)，那么用xr替换xn+1，转到步骤2。
- 否则转到第5步。
扩展:
- 如果f(xr)<f(x1)，那么计算扩展点xe=xo+γ(xo−xn+1).
- 如果f(xe)<f(xr)，那么用xe替换xn+1，转到步骤2。
- 否则用xr替换xn+1，转到第2步。
- 否则转到第6步。
收缩:
- 计算收缩点xc=xo+β（xo-xn+1）.
- 如果f(xc)<f(xn+1)，那么用xc替换xn+1，进入第2步。
- 否则转到第7步.
减少:
- 对于i=2,...,n+1，计算xi=x1+σ（xi-x1）.
Nelder-Mead方法在optim中可用。默认情况下，在optim中，α=1，β=1/2，γ=2，σ=1/2。
Hessian-free 优化方法
对于光滑的非线性函数，一般采用以下方法：局部方法结合直线搜索工作的方案xk+1=xk+tkdk，其中局部方法将指定方向dk，直线搜索将指定步长tk∈R。
基准
为了简化优化方法的基准，我们创建一个函数，用于计算所有优化方法的理想估计方法。
benchfit <- function(data, distr, ...)
β分布的数值说明
β分布的对数似然函数及其梯度
理论值
β分布的密度由以下公式给出
其中β表示β函数。我们记得β(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)。在这里，一组观测值（x1,...,xn）的对数似然性为
与a和b有关的梯度为
R实现
我们最小化了对数似然的相反_数_：实现了梯度的相反_数_。对数似然和它的梯度都不被输出。
function(par) loglikelihood(par, fix.arg ,...)
样本的随机生成
#(1) beta分布 n <- 200 x <- rbeta(n, 3, 3/4) lnl(c(3, 4), x) #检验
`````` hist(x, prob=TRUE)
拟合Beta分布
定义控制参数。
list(REPORT=1, maxit=1000)
用默认的优化函数调用，对于不同的优化方法，有梯度和无梯度。
fit(x, "beta", "mle", lower=0,...)
在约束优化的情况下，我们通过使用对数障碍允许线性不平等约束。
使用形状参数δ1和δ2的exp/log变换，来确保形状参数严格为正。
#取起始值的对数 lapply(default(x, "beta"), log) #为新的参数化重新定义梯度 exp <- function(par,...) beta(exp(par), obs) * exp(par) fit(x, distr="beta2", method="mle")
#返回到原始参数化 expopt <- exp(expopt)
然后，我们提取拟合参数的值、相应的对数似然值和要最小化的函数的计数及其梯度（无论是理论上的梯度还是数值上的近似值）。
数值调查的结果
结果显示在以下表格中。1）没有指定梯度的原始参数（-B代表有界版本），（2）具有（真实）梯度的原始参数（-B代表有界版本，-G代表梯度），（3）没有指定梯度的对数转换参数，（4）具有（真实）梯度的对数转换参数（-G代表梯度）。
我们绘制了真实值（蓝色）和拟合参数（红色）周围的对数似然曲面图。
llsurface(min.arg=c(0.1, 0.1), max.arg=c(7, 3), plot.arg=c("shape1", "shape2"), nlev=25, plot.np=50, data=x, distr="beta", back.col = FALSE) points(unconstropt\[1,"BFGS"\], unconstropt\[2,"BFGS"\], pch="+", col="red") points(3, 3/4, pch="x", col="green")
我们可以用bootdist函数来模拟bootstrap 复制的情况。
boot(fit(x, "beta", method="mle", optim.method="BFGS"))
plot(b1) abline(v=3, h=3/4, col="red", lwd=1.5)
负二项分布的演示
负二项分布的对数似然函数及其梯度
理论值
负二项分布的p.m.f.由以下公式给出
其中Γ表示β函数。存在另一种表示方法，即μ=m(1-p)/p或等价于p=m/(m+μ)。因此，一组观测值（x1,...,xn）的对数似然性是
相对于m和p的梯度是
R实现
我们最小化对数似然性的相反_数_：实现梯度的相反_数_。
m <- x\[1\] p <- x\[2\] c(sum(psigamma(obs+m)) - n\*psigamma(m) + n\*log(p), m*n/p - sum(obs)/(1-p))
样本的随机生成
#(1) β分布 trueval <- c("size"=10, "prob"=3/4, "mu"=10/3) x <- rnbinom(n, trueval\["size"\], trueval\["prob"\]) hist(x, prob=TRUE, ylim=c(0, .3))
拟合负二项分布
定义控制参数并做基准。
list(trace=0, REPORT=1, maxit=1000) fit(x, "nbinom", "mle", lower=0)
在约束优化的情况下，我们通过使用对数障碍允许线性不平等约束。
使用形状参数δ1和δ2的exp/log变换，来确保形状参数严格为正。
#对起始值进行变换 mu <- size / (size+mu) arg <- list(size=log(start), prob=log(start/(1-start))) #为新的参数化重新定义梯度 function(x) c(exp(x\[1\]), plogis(x\[2\])) fit(x, distr="nbinom2", method="mle")
#返回到原始参数化 expo <- apply(expo, 2, Trans)
然后，我们提取拟合参数的值、相应的对数似然值和要最小化的函数的计数及其梯度（无论是理论上的梯度还是数值上的近似值）。
数值调查的结果
结果显示在以下表格中。1）没有指定梯度的原始参数（-B代表有界版本），（2）具有（真实）梯度的原始参数（-B代表有界版本，-G代表梯度），（3）没有指定梯度的对数转换参数，（4）具有（真实）梯度的对数转换参数（-G代表梯度）。
我们绘制了真实值（蓝色）和拟合参数（红色）周围的对数似然曲面图。
surface(min.arg=c(5, 0.3), max.arg=c(15, 1), ) points(trueval , pch="x")
我们可以用bootdist函数来模拟bootstrap 复制的情况。
boot(fit(x, "nbinom", method="mle")
plot(b1) abline(v=trueval)
结论
基于前面的两个例子，我们观察到所有的方法都收敛到了同一个点。
然而，不同方法的函数评价（和梯度评价）的结果是非常不同的。此外，指定对数似然性的真实梯度对拟合过程没有任何帮助，通常会减慢收敛速度。一般来说，最好的方法是标准BFGS方法或对参数进行指数变换的BFGS方法。由于指数函数是可微的，所以渐进特性仍被保留（通过Delta方法），但对于有限样本来说，这可能会产生一个小的偏差。
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