至少有两种非平稳时间序列：具有趋势的时间序列和具有单位根的时间序列（称为单整时间序列）。单位根检验不能用来评估时间序列是否平稳。它们只能检测单整时间序列。季节性单位根也是如此。
这里考虑月平均温度数据。
> mon=read.table("temp.txt") > plot(mon)
现在，我们可以计算所有年份的三个不同平稳性检验的p值
for(y in 1955:2013){ Temp[which(Year==y)] as.numeric(pp.test(Zc)$p.value) as.numeric(kpss.test(Zc)$p.value) as.numeric(adf.test(Zc)$p.value)
从图像上看，如果红色表示非平稳，蓝色表示平稳，我们得到
polygon(y,col=CL[1+(D[y-1954,i]==1)*5],border=NA)}}
可以看到大部分序列在5%显著性水平下无法拒绝原检验说明序列非平稳。
冬天和夏天的温度是完全不同的。我们可以来可视化：
> plot(month,(tsm)) > lines(1:12,apply(M,2,mean
或者
plot(tsm)
> 3D(tsm)
看起来我们的时间序列是周期性的，因为每年都是季节性的。自相关函数：
现在的问题是有季节性单位根吗?这说明我们的模型应该是
如果我们忘记了自回归和移动平均分量，我们可以估计
如果有季节性单位根，那么应该接近1。
arima(x = tsm, order = c(0, 0, 0), seasonal = list(order = c(1, 0, 0), period = 12)) Coefficients: sar1 intercept 0.9702 6.4566 s.e. 0.0071 2.1515
和1差不多。实际上，它不能太接近1。如果是的话，我们会收到一条错误信息…
为了说明模型，让我们考虑季度温度，
sp(1:4,N,theta=-50,col="yellow",shade=TRUE,
VAR季度温度模型
VAR模型描述在同一样本期间内的n个变量（内生变量）可以作为它们过去值的线性函数。
一个VAR(p)模型可以写成为：
其中：_c_是_n_ × 1_常数向量，_Ai_是_n × n_矩阵。e_t_是_n × _1_误差向量，满足：
-
—误差项的均值为0 -
—误差项的协方差矩阵为Ω（一个_n_ × 'n_正定矩阵）_ -
（对于所有不为0的_k_都满足）—误差项不存在自相关
其中A是4X4矩阵。这个模型很容易估计
model=VAR(df)
矩阵A在这里
> A=rbind( + coefficients(varresult$y1)[1:4], + coefficients(varresult$y2)[1:4], + coefficients(varresult$y3)[1:4], + coefficients(varresult$y4)[1:4])
由于这个多时间序列的平稳性与这个矩阵的特征值密切相关，我们来看一下，
> eigen(A) [1] 0.35834830 -0.32824657 -0.14042175 0.09105836 > Mod(eigen(A) [1] 0.35834830 0.32824657 0.14042175 0.09105836
周期自回归(PAR)模型
看起来这里不存在平稳性问题。有限制的模型称为周期自回归模型，被称为 
模型
其中
并且
这是一个_VAR(1)_ 模型，因此
可以来估计这个模型
par(wts=tsq, type="PAR", p=1) > PAR(model)
特征方程为
所以有一个(季节性的)单位根，如果
但在这里显然不是这样。可以进行 Canova _Hansen_(CH)检验。_Canova_ _Hansen_(CH)检验主要用于检验季节差异并验证零假设,即季节性模式在采样期内是稳定的或随时间而变化。
检验的输出在这里
> CH.test(tsm)
看起来我们拒绝了季节性单位根的假设。我提到以下检验程序
> nsdiffs(tsm, test="ch") [1] 0
其中输出:“1”表示有一个季节单位根，“0”表示没有季节单位根。读起来很简单，不是吗?如果我们考虑每月数据的周期自回归模型，输出是
> model
所以，不管是什么检验，我们总是拒绝有季节性单位根的假设。这并不意味着我们的序列不能是周期性的！实际上，这个序列几乎是周期性的。但是没有单位根！所以所有这些都是有意义的。
为了确保我们得到的是正确的，考虑两个时间序列。第一个是周期序列(有非常小的噪声)，第二个是单整序列。
> p1=Xp2=as.numeric(t(M)) > for(t in 13:length(M)){ + p2[t]=Xp2[t-12]+rnorm(1,0,2)
查看
3D(tsp1) 3D(tsp2)
如果我们快速地看一下这些序列，我会说第一个没有单位根-即使它不是平稳的，但这是因为这个序列是周期性的-而第二个有单位根。如果我们看一下 Canova _Hansen_(CH)检验，我们会得到
> CH.test(tsp1)
考虑一下
> nsdiffs(tsp1, 12,test="ch") [1] 0 > nsdiffs(tsp2, 12,test="ch") [1] 1
这里我们有相同的结论。第一个没有单位根，但是第二个有单位根。用_Osborn-Chui-Smith-Birchenhall_检验
> nsdiffs(tsp1, 12,test="ocsb") [1] 1 > nsdiffs(tsp2, 12,test="ocsb") [1] 1
在我们的周期序列中也有一个单位根。
所以在这里，在低频上，我们拒绝在我们的温度序列中有单位根的假设，甚至是季节性的单位根。
