分段回归( piecewise regression )，顾名思义，回归式是“分段”拟合的。其灵活用于响应变量随自变量值的改变而存在多种响应状态的情况，二者间难以通过一种回归模型预测或解释时，不妨根据响应状态找到合适的断点位置，然后将自变量划分为有限的区间，并在不同区间内分别构建回归描述二者关系。分段回归最简单最常见的类型就是分段线性回归( piecewise linear regression )，即各分段内的局部回归均为线性回归。
本文我们试图预测车辆的制动距离，同时考虑到车辆的速度。
> summary(reg) Call: Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -29.069 -9.525 -2.272 9.215 43.201 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -17.5791 6.7584 -2.601 0.0123 * speed 3.9324 0.4155 9.464 1.49e-12 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 15.38 on 48 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.6511, Adjusted R-squared: 0.6438 F-statistic: 89.57 on 1 and 48 DF, p-value: 1.49e-12
要手动进行多个预测，可以使用以下代码（循环允许对多个值进行预测）
for(x in seq(3,30)){ + Yx=b0+b1*x + V=vcov(reg) + IC1=Yx+c(-1,+1)*1.96*sqrt(Vx) + s=summary(reg)$sigma + IC2=Yx+c(-1,+1)*1.96*s
然后在一个随机选择的20个观测值的基础上进行线性回归。
lm(dist~speed,data=cars[I,])
目的是使观测值的数量对回归质量的影响可视化。
Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -23.529 -7.998 -5.394 11.634 39.348 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -20.7408 9.4639 -2.192 0.0418 * speed 4.2247 0.6129 6.893 1.91e-06 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 16.62 on 18 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.7252, Adjusted R-squared: 0.71 F-statistic: 47.51 on 1 and 18 DF, p-value: 1.91e-06 > for(x in seq(3,30,by=.25)){ + Yx=b0+b1*x + V=vcov(reg) + IC=Yx+c(-1,+1)*1.96*sqrt(Vx) + points(x,Yx,pch=19
可以使用R函数进行预测，具有置信区间
fit lwr upr 1 42.62976 34.75450 50.50502 2 84.87677 68.92746 100.82607 > predict(reg, fit lwr upr 1 42.62976 6.836077 78.42344
当有多个解释变量时，“可视化”回归就变得更加复杂了
> image(VX2,VX3,VY) > contour(VX2,VX3,VY,add=TRUE)
这是一个回归三维曲面_图_
> persp(VX2,VX3,VY,ticktype=detailed)
我们将更详细地讨论这一点，但从这个线性模型中可以很容易地进行非线性回归。我们从距离对数的线性模型开始
> abline(reg1)
因为我们在这里没有任何关于距离的预测，只是关于它的对数......但我们稍后会讨论它
lm(sqrt(dist)~speed,data=cars)
还可以转换解释变量。你可以设置断点(阈值)。我们从一个指示变量开始
Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -29.472 -9.559 -2.088 7.456 44.412 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -17.2964 6.7709 -2.555 0.0139 * speed 4.3140 0.5762 7.487 1.5e-09 *** speed > s TRUE -7.5116 7.8511 -0.957 0.3436 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 15.39 on 47 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.6577, Adjusted R-squared: 0.6432 F-statistic: 45.16 on 2 and 47 DF, p-value: 1.141e-11
但是你也可以把函数放在一个分段的线性模型里，同时保持连续性。
Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -29.502 -9.513 -2.413 5.195 45.391 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -7.6519 10.6254 -0.720 0.47500 speed 3.0186 0.8627 3.499 0.00103 ** speed - s 1.7562 1.4551 1.207 0.23350 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 15.31 on 47 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.6616, Adjusted R-squared: 0.6472 F-statistic: 45.94 on 2 and 47 DF, p-value: 8.761e-12
在这里，我们可以想象几个分段
posi=function(x) ifelse(x>0,x,0) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -7.6305 16.2941 -0.468 0.6418 speed 3.0630 1.8238 1.679 0.0998 . positive(speed - s1) 0.2087 2.2453 0.093 0.9263 positive(speed - s2) 4.2812 2.2843 1.874 0.0673 . --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 15 on 46 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.6821, Adjusted R-squared: 0.6613 F-statistic: 32.89 on 3 and 46 DF, p-value: 1.643e-11
正如目前所看到的，后两个系数的显著性测试并不意味着斜率为零，而是与左侧区域（在两个阈值之前）的斜率显著不同。
