示例1：使用MCMC的指数分布采样
任何MCMC方案的目标都是从“目标”分布产生样本。在这种情况下，我们将使用平均值为1的指数分布作为我们的目标分布。所以我们从定义目标密度开始：
target = function(x){ if(x<0){ return(0)} else { return( exp(-x)) } }
定义了函数之后，我们现在可以用它来计算几个值（只是为了说明函数的概念）：
target(1)
[1] 0.3678794
target(-1)
[1] 0
接下来，我们将规划一个Metropolis-Hastings方案，从与目标成比例的分布中进行抽样
x[1] = 3 #这只是一个起始值，我设置为3 for(i in 2:1000){ A = target(proposedx)/target(currentx) if(runif(1)<A){ x[i] = proposedx # 接受概率min（1，a） } else { x[i] = currentx #否则“拒绝”行动，保持原样 }
注意，x是马尔可夫链的实现。我们可以画几个x的图：
我们可以将其封装在一个mcmc函数中，以使代码更整洁，这样更改起始值和提议分布更容易
for(i in 2:niter){ currentx = x[i-1] proposedx = rnorm(1,mean=currentx,sd=proposalsd) A = target(proposedx)/target(currentx) if(runif(1)<A){ x[i] = proposedx # 接受概率min（1，a） } else { x[i] = currentx # 否则“拒绝”行动，保持原样 }
现在我们将运行MCMC方案3次，看看结果有多相似：
z1=MCMC(1000,3,1) z2=MCMC(1000,3,1) z3=MCMC(1000,3,1) plot(z1,type="l")
par(mfcol=c(3,1)) #告诉R将3个图形放在一个页面上 hist(z1,breaks=seq(0,maxz,length=20))
练习
使用函数easyMCMC了解以下内容：
- 不同的起始值如何影响MCMC方案？
- 较大/较小的提案标准差有什么影响？
- 尝试将目标函数更改为
target = function(x){ return((x>0 & x <1) + (x>2 & x<3)) }
这个目标看起来像什么？如果提议sd太小怎么办？（例如，尝试1和0.1）
例2：估计等位基因频率
在对双等位基因座的基因型（如具有AA和AA等位基因的基因座）进行建模时，一个标准的假设是群体是“随机”的。这意味着如果p是等位基因AA的频率，那么基因型 
和 
将分别具有频率 
和 
。
p一个简单的先验是假设它在[0,1]上是均匀的。假设我们抽样n个个体，观察 
基因型 
、 
基因型 
和 
基因型 
。
下面的R代码给出了一个简短的MCMC例程，可以从p的后验分布中进行采样。请尝试遍历该代码，看看它是如何工作的。
prior = function(p){ if((p<0) || (p>1)){ # || 这里意思是“或” return(0)} else{ return(1)} } likelihood = function(p, nAA, nAa, naa){ return(p^(2*nAA) * (2*p*(1-p))^nAa * (1-p)^(2*naa)) } psampler = function(nAA, nAa, naa){ for(i in 2:niter){ if(runif(1)<A){ p[i] = newp # 接受概率min（1，a） } else { p[i] = currentp # 否则“拒绝”行动，保持原样 }
对 
运行此样本。
现在用一些R代码来比较后验样本和理论后验样本（在这种情况下可以通过分析获得；因为我们观察到121个As和79个as，在200个样本中，p的后验样本是β（121+1,79+1）。
hist(z,prob=T) lines(x,dbeta(x,122, 80)) # 在直方图上叠加β密度
您也可能希望将前5000 z的值丢弃为“burnin”（预烧期）。这里有一种方法，在R中仅选择最后5000 z
hist(z[5001:10000])
练习
研究起点和提案标准偏差如何影响算法的收敛性。
例3：估计等位基因频率和近交系数
一个复杂一点的替代方法是假设人们有一种倾向，即人们会与比“随机”关系更密切的其他人近交（例如，在地理结构上的人口中可能会发生这种情况）。一个简单的方法是引入一个额外的参数，即“近亲繁殖系数”f，并假设 
和 
基因型有频率
和 
。
在大多数情况下，将f作为种群特征来对待是很自然的，因此假设f在各个位点上是恒定的。
请注意，f和p都被约束为介于0和1之间（包括0和1）。对于这两个参数中的每一个，一个简单的先验是假设它们在[0,1]上是独立的。假设我们抽样n个个体，观察 
基因型 
、 
基因型 
和 
基因型 
。
练习：
- 编写一个短的MCMC程序，从f和p的联合分布中取样。
sampler = function(){ f[1] = fstartval p[1] = pstartval for(i in 2:niter){ currentf = f[i-1] currentp = p[i-1] newf = currentf + newp = currentp + } return(list(f=f,p=p)) # 返回一个包含两个名为f和p的元素的“list” }
- 使用此样本获得f和p的点估计（例如，使用后验平均数）和f和p的区间估计（例如，90%后验置信区间），数据：
-
附录：GIBBS采样
您也可以用Gibbs采样器解决这个问题
为此，您将想要使用以下“潜在变量”表示模型：
将zi相加得到与上述相同的模型:
