7.2 关系运算-阿里云开发者社区

注：重点掌握投影，选择，自然连接，左外连接，右外连接，全连接，笛卡尔积，注意要理解除的概念和运用

细节是'2'与2的区别，元数与元组的区别

学习方法：根据本节脑子里形成知识点的思维导图，每个知识点对应的题目要熟练掌握。

基本的关系代数运算

1、并(Union)

• 关系R与S具有相同的关系模式，即R与S的元数相同（结构相同），关系R与S“并”

由属于R或属于S的元组构成的集合组成，记作R∪S，其形式定义如下：

基本的关系代数运算

2、差

• 关系R与S具有相同的关系模式，关系R与S的差是由属于R但不属于S的元组构成

的集合，记作R-S，其形式定义如下：

3、广义笛卡儿积

• 两个元数分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡儿积是一个(n+m)列的元组的集合。

元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组，记作R×S。

4、投影及广义投影

• 投影是从关系的垂直方向进行运算，在关系R中选择出若干属性列A组成新的关系，记作 π A (R) ，其形式定义如下：

广义投影运算允许在投影列表中使用算术运算，实现了对投影运算的扩充。若有关系R，条件

F1,F2, … ,Fn中的每一个都是涉及R中常量和属性的算术表达式，那么广义投影运算的形式定义为

2、连接

• 分为 θ 连接、等值连接与自然连接

（1） θ 连接：可以由基本的关系运算笛卡儿积和选取运算导出

比较运算符，如>、<、=、 ≠ ， X 和 Y 分别为R和S上可以进行比较的属性组。

小技巧：以R表中A列为基准

每次算笛卡尔积是很麻烦的，但是根据一些求值特点可以直接看出来，比如上图中R表中的A列要小于S表中的B列，如2<8.则可就是21468，3<8，就是34568，4<8.则就是46768，组成的三列就再把关系中的表名写上，如图所示：

除了等于，还可以大于，小于，同样没有必要求出来RXS,可以直接找R.A=S.C的

3）自然连接

• 是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且在结果集
中将重复属性列去掉。如果没有重复属性，那么自然连接就转化为笛卡儿积。即R.A=S.A,所有相同的属性都必须进行比较，图中的是R.A=S.并且是R.C=S.C，一般是去掉右边的。

具体求得时候：可以找到相同的属性列，去掉一个相同的属性，再找到有没有相等的

sql语句:select * from s,sc where s.xuehao=sc.xuehao

4:除

第一步：找出相同的属性列（本例中相同的是CD)

第二步：先载其中一个表找相同属性列的值(在s表中找到CD,两列的值是（c，d)，(e,f)再在另外一个表找与（c.d),（e,f）相同的行，再找到和CD两列不同列的值，（本例中是A,B），而后看A,B两列对应两行的值是否相同，（本例中就是两列都是a,b)在R表中，两行(c,d)(e,f)对应的左边两行的值是相同的，就留下来。

若都么有一样的，那么结果就是一个空集

4、外连接：对连接运算的补充

• 外连接运算是连接运算的扩展，可以处理缺失的信息。

（1）左外连接 ⟕ （左侧为准，右侧填充）

• 取出左侧关系中所有与右侧关系中任一元组都不匹配的元组，用空值NULL填充所有来自右侧关系的属性，构成新的元组，将其加入自然连接的结果中。

首先求自然连接，然后以左边为准找到没有匹配的，右边的值用空值填充

本例中的表bc,de,都能匹配，但是ad,fg两行并没有匹配，则右边需要有空值

2）右外连接 ⟖ （右侧为准，左侧填充）类似左外连接

取出右侧关系中所有与左侧关系中任一元组都不匹配的元组，用空值NULL填充所有来自左侧关系的属性，构成新的元组，将其加入自然连接的结果中

1.自然连接，以右侧为基准

（3）全外连接⟗：分别求出左外连接和右外连接，而后求出它们的并集

前面三行是重复的，只需要添加上左外连接的后两行和右外连接的最后一行，去掉重复就可以了

总结：

注：在自然连接中，若没有相同的属性列，则就转化为了笛卡尔积

题目：

1 、 19 年第 39 题

给定关系 R （ A,B,C,D ）与 S （ C,D,E,F ），则 R × S 与 R⨝S 操作结果的属性个数分别为（ A ）。

A. 8, 6 B. 6, 6 C. 8, 8 D. 7, 6

注：RxS是求笛卡尔积，需要把所有属性都写上，只需要在相同的属性前加上表名即可，所以是4+4=8.R⨝S自然连接需要去掉相同的属性CD是相同的，分别保留一个即可，就是4+4-2=6；

注：先自然连接，要求就是R.A=S.A R.C=S.C R.D=S.D,转换为笛卡尔积就是第1列=第5列，对应的就是1=5，其他的类似，中间是且的关系，R.C>S.F对应的列数就是第3列和第9列，注意'3'>'9'（数字3>数字9）和3>9（第3列大于第9列）的区别。投影出来，把不必要的给去除掉。注意自然连接要去除掉相同的属性列，投影的选项是去除掉相同列的，而选择的选项是没有去除掉相同列的（在选项中都是笛卡尔积）。

注：先按照如下示例写出来，从右往左看,先自然连接，而后是A2<2017并且A4=95,再去进行投影，结果里就没有A2,A3列了,再看选项。排除错误答案。

R S

A1 A2 A3 A2 A3 A4 ---->自然连接--->A1 A2 A3 A4-->A2<2017且A4=95,--->投影运算-->A1,A4

A选项明显的错误，应该是并，不是或

B项是先进行A2<2017,A4=95的选择而后笛卡尔积，与题目中的先自然连接是不能等价的

此处应注意，自然连接要求两点1.两个表中有相同的属性，属性对应的值要相等。2.结果集合中要去掉重复的列。可举列子反驳。

C中S仅有3列，不可能有第6列。

D中有选择2=4并且3=5。类似自然连接中要求相同属性对应的值要相同。是正确的。

4 、 17 年第 54 题

有两个关系模式 R(A ， B ， C ， D) 和 S(A ， C ， E ， G) ，则 X=R × S 的关系模式是（ C ）。

A. X(A ， B ， C ， D ， E ， G) B. X(A ， B ， C ， D)

C. X(R.A ， B ， R.C ， D ， S.A ， S.C ， E ， G) D. X(B ， D ， E ， G)

注：笛卡尔积的运算

注：排除各个选项后，可得B是正确的

注：AC明显的错误，选择第2列大于第7列的笛卡尔积结果，但是自然连接后只有5列

'2'>'7'的意思是数字2大于数字7，不是第2列大于第7列

自然连接两要求：1.相同属性对应的值要相同。2，去掉相同属性其中的一列。留下的数值就是结果。

7 、 16 年第 48 、 49 题

关系数据库中通常包含多个表，表与表之间的关联关系通过（ B ）来实现，通过（ D ）运算将两个关联的表

合并成一张信息等价的表。

A. 指针 B. 外码 C. 索引 D. 视图

A. 选择 B. 投影 C. 笛卡尔积 D. 自然连接

注：

注：从右往左看，选择在S表中第1列的值小于对应第3列的值的行，如图1所示，而后对此结果，再进行投影，选择A1列和A2列，如图2所示，再用R除以它（除法：在本题中属性是A1,A2)对应的值是（2，1）（3，4）找到在R表中A1 A2对应的也是（2.1）（3，4）的两行，且右边A3对应的值是相同的，如图3所示）除后的结果就是4