前言
将时域信号转换为频域信号时，涉及到幅度和能量的变化，目前大部分开源库在正变换和反变换时会忽略常数，因此当我们想将频域和时域信号归一化到统一尺度时（方便设置阈值），需要做归一化操作。
一、能量（功率）归一化有什么用？
答：添加功率归一化因子，目的在于使得不同调制方式（或者说对于所有映射方式）都能够取得相同的平均功率。
实际上，归一化是为了方便系统性能的比较，所以就要分清比较的模块是什么。比如，信道编码的增益问题，无论有无信道编码，比特能量是一样的，所以比较要以 Eb/No 为基准，而不是以进入信道前的符号能量 Es/No 为基准。再比如，在比较空时码系统和单天线系统中，还是以进入时空码编码前信号能量为基准，那么发送时的总能量一致，即时空码系统中各天线发射功率总和应和单天线系统发射功率相同。一般而言，归一化都在发射端处理。
二、归一化方式
1、单个频点幅度
X k = ∑ n = 0 N − 1 x n e − i 2 π k n / N X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_ne^{-i2\pi kn/N}Xk=n=0∑N−1xne−i2πkn/N
x n = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X k e i 2 π n / N x_n=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_ke^{i2\pi n/N}xn=N1k=0∑N−1Xkei2πn/N
根据傅里叶变换公式，使用 1 / N 1/N1/N 进行归一化，对于实数来说，有效频点为 N / 2 N/2N/2，因此使用 2 / N 2/N2/N
2、整帧能量
∑ n = 0 N − 1 ∣ x [ n ] ∣ 2 = 1 N ∑ k = 0 N − 1 ∣ X [ k ] ∣ 2 \sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2n=0∑N−1∣x[n]∣2=N1k=0∑N−1∣X[k]∣2
根据 DFT 变换的帕萨瓦尔定理，使用 1 / N 1/\sqrt N1/N
三、仿真测试
在进行 FFT、IFFT 时分别需除 sqrt(N)，乘 sqrt(N），这样做的目的是使能量归一化，即使得时域和频域数据的能量一样。
MATLAB 测试：
Data_inf = randi([0,1],100,1)+1i*randi([0,1],100,1); ifftData = ifft(Data_inf)*sqrt(100); fftData = fft(Data_inf)./sqrt(100); powerData = sum(abs(Data_inf).^2); powerifft = sum(abs(ifftData).^2); powerfft = sum(abs(fftData).^2); fprintf('powerData = %d\n', powerData); fprintf('powerifft = %d\n', powerifft); fprintf('powerfft = %d\n', powerfft);
仿真结果：
powerData = 93 powerifft = 9.300000e+01 powerfft = 9.300000e+01
可知，数据能量都是 93，验证分析正确。
