前言
本文对信号补零前与补零后分别做 FFT，对频谱进行分析。
先抛出结论：
补 1 次零相当于在原始频谱图中每两个频率之间插入1个频率值，补 2 次零相当于在原始频谱图中每两个频率之间插入 2 个频率值，并且原始频率值的位置及其幅值保持不变。因此， 补零会使频谱图中的频率点的数量增加，从而使得频谱图更加的光滑连续，但是补零不能对频谱图中的频率分辨率、频率值以及幅值有所改善。
一、 什么是补零
FFT 运算点数（M） > 采样点数（N）时，fft(xn,M) 函数对信号 xn 进行尾补零操作即在该信号尾部添加多个值为 0 的数据点以使信号总点数 N 增至 FFT 运算所需点数M。
二、案例
三、补零前仿真及分析
直接对这 1000 个数据点做 FFT
1、补零前 MATLAB 源码
%% [预处理] clc; % 清除命令窗口 clear; % 清除工作空间的变量和函数 clf; % 清除当前图形 %% [采样参数] fs = 100e6; % 采样频率 (Hz) ts = 1/fs; % 采样周期 (s) N = 1000; % 采样点数 (个) n = 0:N-1; % 采样点索引 t = n*ts; % 采样时间轴 %% [未补零 被采信号 && 绘制时域波形] fa = 1e6; % 信号 a 的频率 fb = 1.05e6; % 信号 b 的频率 xn = cos(2*pi*fa*t) + cos(2*pi*fb*t); % 被采信号 = 信号a + 信号b figure(1); plot(t, xn); axis([0 10e-6 -inf inf]); % x 轴范围设置成[0，10us]，y 轴范围最小值和最大值都为无穷 title('xn 时域图'); ylabel('幅度/V'); xlabel('时间/s'); %% [未补零 被采信号 && 绘制频谱图] M = 1000; % FFT 运算点数 X = fft(xn, M); % FFT 输出值 X = [X(1)/N,X(2:M)*2/N]; % 幅度轴，对FFT输出值进行归一化处理，得到幅度轴上的值。 k = 0:M-1; % 频率点索引 f = fs*k/(M-1); % 频率轴 figure(2); plot(f, abs(X)); axis([0.5e6 1.5e6 0 1.5]); % x 轴范围设置成[0.5e6，1.5e6]，y 轴范围设置成[0，1.5] title('xn 频谱图'); ylabel('X(f)'); xlabel('频率/Hz');
2、仿真及结果分析
①、x n x_nxn 时域图
②、x n x_nxn 频谱图
四、补零后仿真及分析
对数据补零，增加 FFT 点数，比如补 6000 个零，做 7000 个点的 FFT。
1、补6000个零且1000采样点
①、 MATLAB 源码
%% [预处理] clc; % 清除命令窗口 clear; % 清除工作空间的变量和函数 clf; % 清除当前图形 %% [采样参数] fs = 100e6; % 采样频率 (Hz) ts = 1/fs; % 采样周期 (s) N = 1000; % 采样点数 (个) n = 0:N-1; % 采样点索引 t = n*ts; % 采样时间轴 %% [被采信号 && 绘制时域波形] fa = 1e6; % 信号 a 的频率 fb = 1.05e6; % 信号 b 的频率 xn = cos(2*pi*fa*t) + cos(2*pi*fb*t); % 被采信号 = 信号a + 信号b figure(1); plot(t, xn); axis([0 10e-6 -inf inf]); % x 轴范围设置成[0，10us]，y 轴范围最小值和最大值都为无穷 title('xn 时域图'); ylabel('幅度/V'); xlabel('时间/s'); %% [尾补零 被采信号 && 绘制时域波形] xnwei=[xn zeros(1,6000)]; % 补6000个零 M = length(xnwei); % FFT 运算点数 X = fft(xnwei, M); % FFT 输出值 X = [X(1)/N,X(2:M)*2/N]; % 幅度轴，对FFT输出值进行归一化处理，得到幅度轴上的值。 k = 0:M-1; % 频率点索引 f = fs*k/(M-1); % 频率轴 figure(2); plot(f, abs(X)); axis([0.5e6 1.5e6 0 1.5]); % x 轴范围设置成[0.5e6，1.5e6]，y 轴范围设置成[0，1.5] title('补零后共7000个数据点做FFT的频谱'); ylabel('X(f)'); xlabel('频率/Hz');
②、仿真及结果分析
可以看到信号频谱变得平滑了，但是仍然无法区分1MHz 和 1.05MHz
这里就要引出一个波形分辨率的概念，虽然补零了，提高了频谱分辨率，但是无法提高波形分辨率
2、波形分辨率
发现频率成分无法被区分开，第一反应就是：频率分辨率不够，那么，如何提高频率分辨率呢？首先要清楚，这里存在两种类型的频率分辨率。
所以要想提高波形分辨率，必须提高信号数据本身的长度
3、补6000个零且7000采样点
采样 7000 个信号数据做 FFT，还是补 6000 个零 ，做 13000 个点的 FFT
①、 MATLAB 源码
%% [预处理] clc; % 清除命令窗口 clear; % 清除工作空间的变量和函数 clf; % 清除当前图形 %% [采样参数] fs = 100e6; % 采样频率 (Hz) ts = 1/fs; % 采样周期 (s) N = 7000; % 采样点数 (个) n = 0:N-1; % 采样点索引 t = n*ts; % 采样时间轴 %% [被采信号 && 绘制时域波形] fa = 1e6; % 信号 a 的频率 fb = 1.05e6; % 信号 b 的频率 xn = cos(2*pi*fa*t) + cos(2*pi*fb*t); % 被采信号 = 信号a + 信号b figure(1); plot(t, xn); axis([0 10e-6 -inf inf]); % x 轴范围设置成[0，10us]，y 轴范围最小值和最大值都为无穷 title('xn 时域图'); ylabel('幅度/V'); xlabel('时间/s'); %% [尾补零 被采信号 && 绘制时域波形] xnwei=[xn zeros(1,6000)]; % 补6000个零 M = length(xnwei); % FFT 运算点数 X = fft(xnwei, M); % FFT 输出值 X = [X(1)/N,X(2:M)*2/N]; % 幅度轴，对FFT输出值进行归一化处理，得到幅度轴上的值。 k = 0:M-1; % 频率点索引 f = fs*k/(M-1); % 频率轴 figure(2); plot(f, abs(X)); axis([0.5e6 1.5e6 0 1.5]); % x 轴范围设置成[0.5e6，1.5e6]，y 轴范围设置成[0，1.5] title('采样点7000且补零后共13000个数据点做FFT的频谱'); ylabel('X(f)'); xlabel('频率/Hz');
②、仿真及结果分析
这是因为在1.05MHz 那个地方刚好有个频点，也就是出现了所谓的频谱泄漏，还是数据长度不够，但这时是可以通过补零来达到目的。再补零 1000 个点，做 14000 点的 FFT。
4、补7000个零且7000采样点
采样 7000 个信号数据做 FFT，补 7000 个零 ,做 14000 点的 FFT
①、 MATLAB 源码
%% [预处理] clc; % 清除命令窗口 clear; % 清除工作空间的变量和函数 clf; % 清除当前图形 %% [采样参数] fs = 100e6; % 采样频率 (Hz) ts = 1/fs; % 采样周期 (s) N = 7000; % 采样点数 (个) n = 0:N-1; % 采样点索引 t = n*ts; % 采样时间轴 %% [被采信号 && 绘制时域波形] fa = 1e6; % 信号 a 的频率 fb = 1.05e6; % 信号 b 的频率 xn = cos(2*pi*fa*t) + cos(2*pi*fb*t); % 被采信号 = 信号a + 信号b figure(1); plot(t, xn); axis([0 10e-6 -inf inf]); % x 轴范围设置成[0，10us]，y 轴范围最小值和最大值都为无穷 title('xn 时域图'); ylabel('幅度/V'); xlabel('时间/s'); %% [尾补零 被采信号 && 绘制时域波形] xnwei=[xn zeros(1,7000)]; % 补7000个零 M = length(xnwei); % FFT 运算点数 X = fft(xnwei, M); % FFT 输出值 X = [X(1)/N,X(2:M)*2/N]; % 幅度轴，对FFT输出值进行归一化处理，得到幅度轴上的值。 k = 0:M-1; % 频率点索引 f = fs*k/(M-1); % 频率轴 figure(2); plot(f, abs(X)); axis([0.5e6 1.5e6 0 1.5]); % x 轴范围设置成[0.5e6，1.5e6]，y 轴范围设置成[0，1.5] title('采样点7000且补零后共14000个数据点做FFT的频谱'); ylabel('X(f)'); xlabel('频率/Hz');
②、仿真及结果分析
五、补零的好处
- 使数据 N 为 2 的整次幂，便于使用 FFT
- 补零后，其实是对 DFT 结果做了插值，克服“栅栏"效应，使谱外观平滑化。我把“栅栏"效应形象理解为，就像站在栅栏旁边透过栅栏看外面风景，栅栏会挡住比较多风景，此时就可能漏掉较大频域分量，但是补零以后，相当于你站远了，风景就看的越来越清楚了。
- 由于对时域数据的截短必然造成频谱泄露，因此在频谱中可能出现难以辨认的谱峰，补零在一定程度上能消除这种现象。
对信号进行头补零或尾补零再得到的幅频响应相等，相频响应不同
补零会使频谱图中的频率点的数量增加，从而使得频谱图更加的光滑连续，但是补零不能对频谱图中的频率分辨率、频率值以及幅值有所改善。
- 补零（Zero-padding）是在FFT计算中向输入信号序列的末尾添加零值，从而增加信号的长度。这样做的主要目的是在频域中插入更多的零频率样本，以获得更好的频谱分析图。
- 补零可以在一定程度上改善频谱图的可视化效果，使频谱图在频率轴上呈现更平滑的外观。这是因为补零增加了离散傅里叶变换（DFT）点数，从而在频率轴上产生更多的插值点。然而，这并不意味着补零改善了频率分辨率或精确性。
- 频率分辨率由采样率和FFT长度决定，而补零并不改变采样率。补零只是对现有的采样点进行插值，不会增加频率分辨率。实际上，补零只是在现有的频率分辨率上插入了更多的点，而不是提高了分辨率本身。
- 频率值和幅值也不会因为补零而改变。补零只是在现有的频率轴上插入了更多的点，对原有的频率值和幅值进行了插值。这些插值点的值是通过对原始采样点进行插值计算得到的，而不是通过补零本身引入的信息。
- 如果希望改善频率分辨率或精确性，需要增加采样率或使用更长的FFT长度。
六、资源自取
