什么是动态规划
动态规划通过额外的空间将已经搜索过的相似的结果（指某些具有相同性质解的集合）用一个数组存起来，所以DP中的状态转移看上去是某两三个值之间的推导，其实是某两三个集合之间的状态转移！
常见的区间DP问题
石子合并
典型题例：
设有 N 堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 N 堆石子合并成为一堆。
每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有 4 堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；
如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。
示例 ：
4 1 3 5 2 输出： 22
思路
状态表示：集合f[i,j]表示所有将[i,j]合并成一堆的方法集合；属性：min
状态计算：最后一次合并肯定是[i,j]分成两堆,第一堆可以是i, i+1, i+2, ...,j-1;
枚举所有[i,j]中左右两边的堆的方法i~k, k+1~j,最后加上总代价s[j]-s[i -1]
状态转移：f[i,j] = min(f[i,j], f[i,k] + f[k+1,j] + s[j] - s[i])
代码：
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 310; int n, m; int s[N]; //前缀和 int f[N][N]; int main() { cin >> n; //处理输入和前缀和 for (int i = 1; i <=n; i ++) { cin >> s[i]; s[i] += s[i - 1]; } for (int len = 2; len <= n; len ++) //枚举区间长度，len=1时就是一堆 for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++) { int j = i + len - 1; f[i][j] = 1e8; //初始设为无穷大 for (int k = i; k < j; k ++) f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]); } printf("%d\n", f[1][n]); return 0; }
计数类DP问题
整数划分
典型题例：
一个正整数 n 可以表示成若干个正整数之和，形如：n=n1+n2+…+nk，其中 n1≥n2≥…≥nk,k≥1。
我们将这样的一种表示称为正整数 n 的一种划分。
现在给定一个正整数 n，请你求出 n 共有多少种不同的划分方法。
示例 ：
输入： 共一行，包含一个整数 n。 共一行，包含一个整数，表示总划分数量。 由于答案可能很大，输出结果请对 109+7 取模。 5 输出： 7
思路
等价于完全背包问题：有一个容量为n的背包，且有n个物品，对应的体积分别为1~n,恰好装满背包的方案数
状态表示：集合f[i,j]表示所有从1~i中选，总体积恰好是j的选法的数量的集合；属性：数量
状态计算：f[i,j] = f[i-1,j] + f[i,j-i] 与完全背包优化方式一样：f[j] = f[j] + f[j-i]
代码：
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int N = 1010, mod = 1e9 + 7; int n; int f[N]; int main() { cin >> n; f[0] = 1; for (int i = 1; i <=n; i ++) for (int j = i; j <= n; j ++) f[j] = (f[j] + f[j - i]) % mod; printf("%d\n", f[n]);
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