【动态规划刷题】整数拆分

动态规划五步曲

1.确定dp及dp[i]的含义

2.找出递推公式

3.确定dp数组如何初始化

4.确定遍历顺序

5.打印dp数组验证

一、整数拆分问题

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思路：动态规划

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i]：分拆数字i，可以得到的最⼤乘积为dp[i]。
   dp[i]的定义讲贯彻整个解题过程，下⾯哪⼀步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是什么。
2. 确定递推公式
   可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？
   其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].
   一个是j * (i - j) 直接相乘。
   一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。
   那有人问了，j怎么就不拆分呢？
   j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。
   那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最⼤的。
   递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
3. dp的初始化
   不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化多少呢？
   有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始
   化可以把题目过了。
   严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。
   拆分0和拆分1的最大乘积是多少？
   这是无解的。
   这里只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1。
4. 确定遍历顺序
   确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
   dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i⼀定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
   枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。

• 5.举例推导dp数组
  
  

具体代码如下：

class Solution {
public:
//在数学上，要将一个数拆分的后的数的乘积为最大值，则需要尽可能将这些数近似相同。
//10: 1 9,2 8,3 7, 4 6,5 5;往后的6 4,7 3, 8 2,9 1都是重复工作了。
//动态规划
//1.确定dp及dp[i]的含义
//dp[i]表示将第i个数进行拆分的最大值为dp[i]
//2.确定递推公式
//假设i = 10，10可以拆分成:j = 5, i-j = 5;这种情况是拆分成了两个数
//dp[i] = j*(i-j);
//或者是：j = 5,dp[i-j];注意dp[i]的含义。这里就是对dp[i-j]继续再进行拆分。
//这里对dp[i-j]进行拆分而不对dp[j]，因为j是小于等于i/2的,只要拆分大的那个数就可以包含拆分那个小的数的情况
//3.如何进行初始化
//在拆分整数中，拆分0,1是没有意义的。所以dp[0],dp[1]无需进行初始化
//4.确定遍历的顺序
//由递推公式可知，dp[i]是由dp[i-j]得来的，所以一定是从前往后进行遍历。
//5.举例说明dp[i]，证明递推公式是正确的。
    int integerBreak(int n) 
    {
        vector<int> dp(n+1);
        dp[2] = 1;
        //遍历时i应该从3开始往后进行递推
        for(int i = 3;i<=n;i++)
        {
            for(int j = 1;j<=i/2;j++)
            {
                dp[i] = max(dp[i],max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
            }
            cout << dp[i] << " ";
        }
        return dp[n];
    }
};

时间复杂度O(n^2),空间复杂度O(n)

总结

今天写了一道题目，整数拆分，仍然是关于动态规划的，我相信每天这么学一道题，收获一定会非常大！