前言
在二叉树的存储结构中提到堆可以进行排序，也就是今天的主题堆排序，堆的排序还可以解决Topk问题，今天我就向大家解密什么是堆排序和Topk问题，它们的原理又是什么。
1. 堆排序
堆是一种特殊的完全二叉树，堆排序是一种基于二叉堆数据结构的排序算法。堆排序是利用堆的特性来对堆中的数据进行排序，那么问题来了：
如果我们要排升序，需要建大堆还是小堆？绝大多数人的第一反应是建小堆，但建小堆真的可以将数据进行升序排列吗？
我们看下边这棵树，如果是小堆，那如何去找第二小的数？我们需要根据堆的特性，对数据进行调整位置，来达到排序的问题。
显然小堆是无法做到的，要想排升序就必须要建大堆。大堆排升序思路如下：
大堆的根是整棵树中最大的值，那我们就可以让根和最后一个节点进行交换（70和10进行交换），然后将剩下的节点进行调整（不包含70），调整后的根就是第二大的数。
然后继续上述操作，将56和15进行交换，然后再进行调整，以此类推，最终数据就会被排为升序。
总结来说，堆排序主要有两大步骤：
- 建堆
- 调整数据
建堆，我们可以选择向上调整或者向下调整。
调整数据部分，必须为向下调整。
1.1 时间复杂度
说到了排序，那就必须要谈一谈它的性能如何？也就是它的时间复杂度。
1.1.1 向上调整（建堆）
向上调整的思路是从孩子（叶子节点）开始调整，最坏调整到根节点，调整情况如下：
每层的数据个数 * 每层调整次数=一层最多执行的次数。那要求的是总共需要执行的次数就是每层的执行次数之和。我们设总的执行次数为T(h)。
所以：T(h)=2^1*1 + 2^2*2 + 2^3*3 … +2^(h-2)*(h-2) + 2^(h-1)*(h-1) ；
计算部分为高中数学的知识，私下可以验算一下，最终的结果为：T(h)=(h-2)* 2^h+2，
将h代换成N(节点个数)，N=2^h-1，h=log(N+1)，
T(N)=( log (N+1) - 2 ) * (N+1) + 2（此处的log以2为底），最终就约等于N*log N
所以向上调整建堆的时间复杂度就是O(N*log N)。
1.1.2 向下调整 (建堆）
向下调整是从根节点开始，最坏调整到叶子节点，调整情况如下：
这里我们可以看出，向下调整的时间复杂度和向上调整不同，我们设总的执行次数为T(h)。
T(h)=2^0*(h-1) + 2^1*(h-2) + 2^2*(h-3) … +2^(h-3)*2 + 2^(h-2)*1 ；
最终的结果为：T(h)=2^h-h-1 ；
将h代换成N(节点个数)，N=2^h-1，h=log(N+1)；
T(N)=N-log(N+1)；最终就约等于N；
所以向下调整建堆的时间复杂度就是O(N)；
注意：这里要区分清，是建堆操作还是调整操作，单一的执行一次调整，向上调整和向下调整的时间复杂度都是log N。
1. 2 排序实现
void HeapSort(int* arr, int n) { //向上调整建堆，时间复杂度O(N*log N) for (int i = 1; i < n; i++) { AdjustUp(arr, i); } //向下调整建堆，时间复杂度O(N) for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) { AdjustDown(arr, n, i); } int end = n - 1; while (end > 0) { swap(&arr[0], &arr[end]); AdjustDown(arr, end, 0); end--; } }
注意：
向上调整时我们需要保证上方的数据结构是堆，所以这里我们从头开始读入数据，读一个数据就调整一次。这样就可以确保每次调整时，其他的数据都是堆结构。
向下调整的前提是左右子树都为堆结构，所以我们需要保证左右子树都为堆，这里我们传参时不能从头开始，要从倒数第一个的非叶子节点开始（最后一个父节点），从后向前进行调整建堆。
向上调整
这里我们建的是大堆 。
void AdjustUp(int* arr,int child) { int parent = (child - 1) / 2; while (child > 0) { if (arr[parent] < arr[child])//建大堆排升序 { swap(&arr[parent], &arr[child]); child = parent; parent = (parent - 1) / 2; } else { break; } } }
向下调整
void AdjustDown(int* arr, int n,int parent) { int child = parent * 2 + 1; while (child <n ) { if (child+1<n && arr[child + 1] > arr[child]) { child++; } if (arr[parent] < arr[child]) { swap(&arr[child], &arr[parent]); parent = child; child = parent * 2 + 1; } else { break; } } }
2. Topk问题
2.1 什么是Topk问题
Top-K问题是指从一组元素中找出前K个最大（或最小）的元素。这个问题在数据处理和算法设计中经常遇到，常见的应用场景包括搜索引擎中的搜索结果排序、推荐系统中的物品推荐、数据分析中的数据筛选等。
Topk问题，我们就可以使用堆来解决，对于Top-K问题，一般有两种情况：
- 找出前K个最大的元素：可以使用最小堆来解决，维护一个大小为K的最小堆，遍历所有元素，将每个元素与堆顶元素进行比较，如果大于堆顶元素，则将堆顶元素替换为当前元素，并进行堆调整。最终堆中的元素即为前K个最大的元素。
- 找出前K个最小的元素：可以使用最大堆来解决，维护一个大小为K的最大堆，遍历所有元素，将每个元素与堆顶元素进行比较，如果小于堆顶元素，则将堆顶元素替换为当前元素，并进行堆调整。最终堆中的元素即为前K个最小的元素。
通过解决Top-K问题，可以快速获取数据中的重要信息，提高算法的效率和性能。
2.2 Topk问题的解决
2.2.1 造数据
为了模拟实现Topk问题在现实生活中的应用，所以在测试时我们需要采用大量的数据进行测试，我们自己手动输入是远远不够的，所以我们这里采用strand函数进行造数据。
void CreateNDate() { // 造数据 int n = 1000000; srand(time(0)); const char* file = "data.txt"; FILE* fin = fopen(file, "w"); if (fin == NULL) { perror("fopen error"); return; } for (int i = 0; i < n; ++i) { int x = rand() % 10000000; fprintf(fin, "%d\n", x); } fclose(fin); }
这里我们造了100万个数据。将数据默认放到了一个data.txt的文件中。我们先运行一下这个函数接口，然后打开在程序的当前路径下找到data.txt文件，将任意的k个数据手动修改（可以前边加4个9，增加辨识度）确保判断找出的数据为前k的最值。这里我们选择找出前k个最大的数据。
注意：造完数据后要将造数据接口注释掉，修改数据后记得将文件保存
2.2.2 Topk的实现
根据上述的思路，要想找到前k个最大的数据，就需要建小堆，这样堆顶就是堆中最小的数据，比堆顶大就置为根入堆，最后将所有数据遍历一遍之后，留在堆里的数据就是前k个最大的数据。
这里我们依然需要前边的调整代码。具体代码如下：
void PrintTopK(const char* filename,int k) { //打开文件，读取数据 FILE* fout = fopen(filename, "r"); if (fout == NULL) { perror("fopen fail"); return; } //建堆 int* setHeap = (int*)malloc(sizeof(int) * k); if (setHeap == NULL) { perror("malloc fail"); exit(-1); } //读取前k个数据建堆 for (int i = 0; i < k; i++) { fscanf(fout, "%d", &setHeap[i]); } for (int i = 0; i < k; i++) { AdjustUp(setHeap, k); } //遍历入堆 int x = 0; while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF) { if (x > setHeap[0]) //比堆顶大就入堆 { setHeap[0] = x; AdjustDown(setHeap, k, 0); //入堆之后向下调整 } } for (int i = 0; i < k; i++) { printf("%d ", setHeap[i]); } printf("\n"); fclose(fout); }
建小堆调整代码
void swap(int* p1, int* p2) { int tmp = *p1; *p1 = *p2; *p2 = tmp; } void AdjustUp(int* arr, int child) { int parent = (child - 1) / 2; while (child > 0) { if (arr[parent] > arr[child])//建大堆排升序 { swap(&arr[parent], &arr[child]); child = parent; parent = (parent - 1) / 2; } else { break; } } } void AdjustDown(int* arr, int n, int parent) { int child = parent * 2 + 1; while (child < n) { if (child + 1 < n && arr[child + 1] < arr[child]) { child++; } if (arr[parent] > arr[child]) { swap(&arr[child], &arr[parent]); parent = child; child = parent * 2 + 1; } else { break; } } }
main接口：
int main() { //CreateNDate(); PrintTopK("data.txt", 7); return 0; }
总结
本篇博客主要介绍了堆排序算法及其在解决TopK问题中的应用。通过对堆排序的原理和实现步骤的详细讲解，我们可以更好地理解和掌握这一经典的排序算法。同时，通过解决TopK问题的实例，我们也可以看到堆排序在实际应用中的价值和优势。希望本篇博客能够为你提供一些有用的思考和启发。最后，感谢阅读！
